Persamaan Garis Singgung Kurva

Persamaan Garis

Persamaan garis yang melalui titik $\mathrm{\left ( x_{1},y_{1} \right )}$ dengan gradien m adalah : $$\mathrm{y-y_{1}=m(x-x_{1})}$$
Sebagai contoh, persamaan garis yang melalui titik $(1, 4)$ dengan m = 3 adalah

y − 4 = 3(x − 1)
y − 4 = 3x − 3
y = 3x + 1

Gradien Garis

Gradien  dari persamaan garis :

• y = ax + b          ⇒ m = a
• ax + by + c = 0  ⇒ m = $\mathrm{-\frac{a}{b}}$

Contoh :

1. y = −2x + 1  ⇒ m = −2
2. 6x − 2y + 3 = 0  ⇒ m = $\mathrm{-\frac{6}{-2}}$ = 3

Gradien garis yang melalui titik $\mathrm{\left ( x_{1},y_{1} \right )}$ dan $\mathrm{\left ( x_{2},y_{2} \right )}$  adalah :

$$\mathrm{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

Gradien garis yang membentuk sudut α terhadap sumbu-x positif adalah :
$$\mathrm{m=tan\:\alpha}$$
Gradien Garis A dan B :

• Sejajar : $\mathrm{m_{A}=m_{B}}$
• Tegak lurus : $\mathrm{m_{A}\cdot m_{B}=-1}$

Persamaan Garis Singgung Kurva

Misalkan garis g menyinggung kurva y = f(x) di titik $\mathrm{\left ( x_{1},y_{1} \right )}$. Persamaan garis singgung kurva di titik tersebut adalah  $$\mathrm{y-y_{1}=m(x-x_{1})}$$

dengan $\mathrm{m=f'(x_{1})}$

Contoh-contah variasi soal persamaan garis singgung kurva

Contoh 1

Persamaan garis singgung kurva $\mathrm{y=x^{2}+2x}$ dititik $(1,\:3)$ adalah ...

Jawab :
Titik singgung : (1, 3)

f(x) = x² + 2x  ⇒  f '(x) = 2x + 2
m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4
⇒ m = 4

PGS di titik (1, 3) dengan m = 4 adalah
y − 3 = 4(x − 1)
y − 3 = 4x − 4
y = 4x − 1

Contoh 2

Persamaan garis singgung kurva $\mathrm{y=2x-3x^{2}}$ di titik dengan absis 2 adalah

Jawab :

Absis (x) = 2

y = 2x − 3x²

y = 2(2) − 3(2)²
y = −8

Titik singgung :  (2, −8)

f(x) = 2x − 3x²  ⇒  f '(x) = 2 − 6x

m = f '(2) = 2 − 6(2) = −10
⇒ m = −10

PGS di titik (2, −8) dengan m = −10 adalah

y − (−8) = −10(x − 2)

y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12

Contoh 3

Persamaan garis singgung kurva $\mathrm{y=2\sqrt{x}}$ di titik dengan ordinat 2 adalah

Jawab :
Ordinat (y) = 2
y  = 2√x
2 = 2√x
1 = √x
x = 1
Titik singgung : (1, 2)

f(x) = 2√x  ⇒  f '(x) = $\mathrm{\frac{1}{\sqrt{x}}}$
m = f '(1) = $\frac{1}{\sqrt{1}}$
⇒ m = 1

PGS di titik (1, 2) dengan m = 1 adalah
y − 2 = 1(x − 1)
y − 2 = x − 1
y = x + 1


Contoh 4
Persamaan garis singgung kurva $\mathrm{y=x^{2}+5}$ yang sejajar dengan garis $\mathrm{2x-y+3=0}$ adalah

Jawab :

Misalkan :
m₁ = gradien garis
m₂ = gradien garis singgung

2x − y + 3 = 0  ⇒  m₁ = 2

Sejajar : m₁ = m₂

⇒ m₂ = 2

f(x) = x² + 5   ⇒  f '(x) = 2x

m₂ = f '(x)

2 = 2x

x = 1

y = x² + 5

y = (1)² + 5
y = 6

Titik singgung : (1, 6)

PGS di titik (1, 6) dengan m₂ = 2 adalah

y − 6 = 2(x − 1)

y = 2x − 2 + 6
y = 2x + 4

Contoh 5

Persamaan garis singgung kurva $\mathrm{y=3-x^{2}}$ yang tegak lurus terhadap garis $\mathrm{4y=x+1}$ adalah

Jawab :

Misalkan :
m₁ = gradien garis
m₂ = gradien garis singgung

4y = x + 1  ⇒  m₁ = $\frac{1}{4}$

Tegak lurus : m₁ . m₂ = −1
$\frac{1}{4}$ . m₂ = −1
⇒  m₂ = −4

f(x) = 3 − x²  ⇒  f '(x) = −2x

m₂ = f '(x)

−4 = −2x

x = 2

y = 3 − x²

y = 3 − (2)²
y = −1

Titik singgung : (2, −1)

PGS di titik (2, −1) dengan m₂ = −4 adalah 

y − (−1) = −4(x − 2)

y + 1 = −4x + 8
y = −4x + 7

Contoh 6

Tentukan persamaan garis singgung kurva $\mathrm{y=\sqrt{x}-2}$ di titik potong kurva itu terhadap sumbu-x !

Jawab :

Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0

y = √x − 2

0 = √x − 2

√x = 2

x = 4

Titik singgung : (4, 0)

f(x) = √x − 2  ⇒  $\mathrm{f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}}$

m = f '(4) = $\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$
⇒ m = $\frac{1}{4}$

PGS di titik (4, 0) dengan m = $\frac{1}{4}$ adalah  

y − 0 = $\frac{1}{4}$(x − 4)
y = $\frac{1}{4}$x − 1

Contoh 7

Tentukan persamaan garis normal kurva $\mathrm{y=x^{2}}$ yang sejajar dengan garis $\mathrm{x+4y-5=0}$ !

Jawab :

Garis normal adalah garis yang melalui titik singgung kurva dan tegak lurus terhadap garis singgung kurva di titik tersebut.

Misalkan :

m₁ = gradien garis
m₂ = gradien garis singgung
m_n = gradien garis normal

x + 4y − 5 = 0 ⇒ m₁ = $-\frac{1}{4}$

Diketahui garis normal sejajar dengan garis x + 4y − 5 = 0, maka :

m_n = m
⇒ m_n = $-\frac{1}{4}$

Karena garis singgung dan garis normal saling tegak lurus, maka :

m_2 .m_n = −1

m_2 .$-\frac{1}{4}$ = −1

m₂ = 4

f(x) = x²  ⇒  f '(x) = 2x

m₂ = f '(x)

4 = 2x

x = 2

y = x²
y = (2)²
y = 4

Titik singgung : (2, 4)

Persamaan garis normal adalah persamaan garis yang melalui titik (2, 4) dengan $\mathrm{m_{n}=-\frac{1}{4}}$, yaitu :

y − 4 = $-\frac{1}{4}$(x − 2)
y − 4 = $-\frac{1}{4}$x + $\frac{1}{2}$

y = $-\frac{1}{4}$x + $\frac{9}{2}$ atau
x + 4y − 18 = 0

Contoh 8

Garis y = x memotong kurva $\mathrm{y=x^{2}-4x+4}$ di titik P dan Q. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik potong tersebut !

Jawab :

Misalkan :

y₁ = x² − 4x + 4
y₂ = x

Titik potong P dan Q :

y₁ = y₂

x² − 4x + 4 = x

x² − 5x + 4 = 0

(x − 1)(x − 4) = 0

x = 1   x = 4

Substitusi x = 1 dan x = 4 ke persamaan kurva atau garis :

x = 1 ⇒ y = 1

x = 4 ⇒ y = 4
Titik potong : P(1, 1) dan Q(4, 4)

f(x) = x² − 4x + 4  ⇒  f '(x) = 2x − 4

m_P = f '(1) = 2(1) − 4 = −2
⇒ m_P = −2

m_Q = f '(4) = 2(4) − 4 = 4

⇒ m_Q = 4

PGS di titik P(1,1) dengan m_P = −2 adalah 

y − 1 = −2(x − 1)
y = −2x + 3

PGS di titik Q(4, 4) dengan m_Q = 4  adalah

y − 4 = 4(x − 4)
y = 4x − 12

Contoh 9

Tentukan persamaan garis singgung kurva $\mathrm{y=x^{2}-4x+6}$ yang melalui titik $(2, 1)$ !

Jawab :

Uji titik (2, 1)
y = x² − 4x + 6
1 = (2)² − 4(2) + 6
1 ≠ 2
Karena tidak memenuhi persamaan kurva, maka titik (2, 1) bukan titik singgung.

Cari titik singgung pada kurva sehingga garis singgungnya melalui titik (2, 1).
f(x) = x² − 4x + 6   ⇒  f '(x) = 2x − 4
m = f '(x)
⇒ m = 2x − 4

Persamaan garis di titik (2, 1) dengan $\mathrm{m = 2x − 4}$ adalah

y − 1 = (2x − 4)(x − 2)

y − 1 = 2x² − 8x + 8
y = 2x² − 8x + 9

Substitusi persamaan diatas ke persamaan kurva :

2x² − 8x + 9 = x² − 4x + 6

x² − 4x + 3 = 0

(x − 1)(x − 3) = 0

x = 1   x = 3

x = 1 ⇒  y = (1)² − 4(1) + 6 = 3

x = 3 ⇒  y = (3)² − 4(3) + 6 = 3

Titik singgung : A(1, 3) dan B(3, 3)

f '(x) = 2x − 4

m_A = f '(1) = 2(1) − 4 = −2

⇒ m_A = −2
m_B = f '(3) = 2(3) − 4 = 2

⇒ m_B = 2

PGS di titik A(1, 3) dengan m_A = −2  adalah

y − 3 = −2(x − 1)
y = −2x + 5

PGS di titik B(3, 3) dengan m_B = 2 adalah

y − 3 = 2(x − 3)
y = 2x − 3

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik $(2, 1)$ dan menyinggung kurva $\mathrm{y=x^{2}-4x+6}$ adalah  $\mathrm{y = -2x + 5}$  dan $\mathrm{y = 2x − 3}$

Contoh 10

Jika garis singgung pada kurva y = √x  di titik P membentuk sudut 45° dengan sumbu-x positif, tentukan koordinat titik P dan persamaan garis singgung di titik P tersebut !

Jawab :

m = tan 45° = 1

⇒ m = 1

f(x) = √x  ⇒  f '(x) = $\mathrm{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$

m = f '(x)

1 = $\mathrm{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$

2√x = 1

√x = $\mathrm{\frac{1}{2}}$

x = $\mathrm{\frac{1}{4}}$

y = √x
y = $\mathrm{\sqrt{\frac{1}{4}}}$
y = $\mathrm{\frac{1}{2}}$

Titik singgung : P$\mathrm{\left ( \frac{1}{4}\:,\:\frac{1}{2} \right )}$

PGS di titik P$\mathrm{\left ( \frac{1}{4}\:,\:\frac{1}{2} \right )}$ dengan $\mathrm{m = 1}$ adalah

y − $\mathrm{\frac{1}{2}}$ = 1$\mathrm{\left ( x-\frac{1}{4} \right )}$
$\mathrm{y=x+\frac{1}{4}}$   atau  4x − 4y + 1 = 0

Contoh 11

Garis k menyinggung kurva $\mathrm{y=x^{2}-4x-3+2a}$ di titik P yang berabsis 4. Jika garis l tegak lurus terhadap garis k di titik P dan melalui titik Q $(8, 2)$, tentukan nilai a !

Jawab :

Absis (x) = 4
y = x² − 4x − 3 + 2a
y = (4)² − 4(4) − 3 + 2a
y = 2a − 3

Titik singgung P(4, 2a − 3)

Cari gradien garis singgung k :

f(x) =  x² − 4x − 3 + 2a 

f '(x) = 2x − 4

m_k = f '(4) = 2(4) − 4
⇒ m_k = 4

Garis l tegak lurus garis k maka :

m_l . m_k = −1

m_l . 4 = −1

m_l = $\mathrm{-\frac{1}{4}}$

Ingat :

Gradien garis yang melalui titik $\mathrm{\left ( x_{1},y_{1} \right )}$ dan $\mathrm{\left ( x_{2},y_{2} \right )}$  adalah :
$$\mathrm{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$$

Garis l melalui titik P(4, 2a − 3) dan Q (8, 2), maka :

⇔  m_l = $\mathrm{\frac{2-(2a-3)}{8-4}}$

⇔  $\mathrm{-\frac{1}{4}}$ = $\mathrm{\frac{5-2a}{4}}$

⇔  −1 = 5 − 2a

⇔  2a = 6

⇔  a = 3

Contoh 12

Jika garis $\mathrm{x-2y=0}$ menyinggung kurva $\mathrm{y=a-\frac{2}{x}}$ dikuadran III, tentukan nilai a !

Jawab :

x − 2y = 0 ⇒ m = $\frac{1}{2}$

f(x) = a − $\mathrm{\frac{2}{x}}$  ⇒  f '(x) = $\mathrm{\frac{2}{x^2}}$

m =  f '(x)

$\mathrm{\frac{1}{2}}$ = $\mathrm{\frac{2}{x^2}}$

x² = 4

x = ±2

Karena titik singgung terletak di kuadran III, maka x harus bernilai negatif.

⇒  x = −2

x − 2y = 0

−2 − 2y = 0

−2y = 2

y = −1

Titik singgung : (−2, −1)

Substitusi (−2, −1) ke persamaan kurva :

y = a − $\mathrm{\frac{2}{x}}$

−1 = a − $\mathrm{\frac{2}{(-2)}}$

−1 = a + 1
⇒ a = −2

Contoh 13

Garis $\mathrm{y=4x+1}$ menyinggung kurva $\mathrm{y=ax^{2}+bx}$ di titik dengan absis 2. Tentukan nilai $\mathrm{4a-b}$ !

Jawab :

Absis (x) = 2 

y = 4x + 1

y =4(2) + 1
y = 9

Titik singgung : (2, 9)

Substitusi titik (2, 9) ke persamaan kurva :

y = ax² + bx

9 = a(2)² + b(2)

4a + 2b = 9 ...................................... (1)

y = 4x + 1  ⇒  m = 4

f(x) = ax² + bx   ⇒   f '(x) = 2ax + b

m = f '(2)

4 = 2a(2) + b

4a + b = 4  ....................................... (2)

Eliminasi (1) dan (2) :

4a + 2b = 9

4a + b = 4    _

4a + b = 5

Dari persamaan (2) :
4a + b = 4

4a + 5 = 4

4a = -1

Jadi, 4a - b = -1 - 5 = -6