Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Perhatikan grafik fungsi berikut !

Dari grafik diatas dapat dilihat bahwa fungsi f(x) naik pada interval \(\mathrm{x < a}\) atau \(\mathrm{x > b}\) dan turun pada interval \(\mathrm{a < x < b}\)

Selain dengan melihat secara visual pada grafik, interval naik atau turunnya suatu fungsi dapat ditentukan dari turunan pertama fungsi tersebut.

1. Jika f '(x) > 0 untuk semua x yang berada pada interval I, maka f naik pada I.
2. Jika f '(x) < 0 untuk semua x yang berada pada interval I, maka f turun pada I.

Contoh 1
Jika f(x) = x² − 6x + 8, tentukan interval f(x) naik dan interval f(x) turun!

Jawab :
f '(x) = 2x − 6

f(x) naik ⇒ f '(x) > 0
⇔  2x − 6 > 0
⇔  2x > 6
⇔  x > 3

f(x) turun ⇒ f '(x) < 0
⇔  2x − 6 < 0
⇔  2x < 6
⇔  x < 3

Jadi f(x) naik pada interval x > 3 dan turun pada interval x < 3.

Contoh 2
Fungsi f(x) = 2x³ − 3x² − 36x naik pada interval ...

Pembahasan :
f '(x) = 6x² − 6x − 36

f(x) naik  ⇒ f '(x) > 0
⇔  6x² − 6x − 36 > 0

Pembuat nol :
6x² − 6x − 36 = 0
x² − x − 6 = 0
(x + 2)(x − 3) = 0
x = −2  atau x = 3

Jadi f(x) naik pada interval x < −2 atau x > 3


Contoh 3
Fungsi f(x) = x⁴ − 8x³ + 16x² + 1 turun pada interval ...

Pembahasan :

f '(x) = 4x³ − 24x² + 32x

f(x) turun  ⇒ f '(x) < 0
⇔  4x³ − 24x² + 32x < 0

Pembuat nol :
⇔  x³ − 6x² + 8x = 0
⇔  x (x² − 6x + 8) = 0
⇔  x (x − 2)(x − 4) = 0
⇔  x = 0 atau x = 2 atau x =4

Jadi f(x) turun pada interval \(\mathrm{x<0}\) atau \(\mathrm{2<x<4}\)