Jenis dan Sifat Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Jenis akar-akar persamaan kuadrat $\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}$  dapat ditentukan berdasarkan nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut.

Diskriminan persamaan kuadrat dilambangkan dengan D dan dirumuskan dengan : $$\mathrm{D=b^{2}-4ac}$$ 1.  D ≥ 0 : akar real/nyata
2.  D > 0 : akar real berlainan
3.  D = 0 : akar real sama/kembar
4.  D < 0 : akar tidak real (imajiner)

Sifat-sifat akar persamaan kuadrat :

1.  Kedua akar positif
     D ≥ 0
     x₁ + x₂ > 0
     x₁ x₂ > 0

2.  Kedua akar negatif
     D ≥ 0
     x₁ + x₂ < 0
     x₁ x₂ > 0

3.  Kedua akar berlainan tanda
     D > 0
     x₁ x₂ < 0   

4.  Kedua akar bertanda sama
     D ≥ 0
     x₁ x₂ > 0

5.  Kedua akar saling berlawanan
     D > 0
     x₁ + x₂ = 0  (b = 0)
     x₁ x₂ < 0
   
6. Kedua akar saling berkebalikan
     D > 0
     x₁ x₂ = 1  (c = a)


Contoh 1
Jika persamaan kuadrat $\mathrm{x^{2}-6x+2p-1=0}$ tidak mempunyai akar real, maka nilai p yang memenuhi adalah...

Jawab :
a = 1
b = −6
c = 2p − 1

Syarat PK tidak mempunyai akar real :
D < 0
b² − 4ac < 0
(−6)² − 4 . 1 . (2p − 1)  < 0
36 − 8p + 4 < 0
−8p < −40
p > 5

Contoh 2
Tentukan nilai m jika persamaan kuadrat $\mathrm{(m+1)x^{2}-8x+2=0}$ mempunyai akar kembar!

Jawab :
a = m + 1
b = −8
c = 2

Syarat PK mempunyai akar kembar :
D = 0
b² − 4ac = 0
(−8)² − 4 . (m + 1) . 2 = 0
64 − 8m − 8 = 0
56 − 8m = 0
−8m = −56
m = 7

Contoh 3
Jika persamaan kuadrat $\mathrm{x^{2}+(k-1)x+1=0}$ mempunyai akar-akar real dan berbeda, maka nilai k yang memenuhi adalah...

Jawab :
a = 1
b = k − 1
c = 1

Syarat akar real dan berbeda :
D > 0
b² − 4ac > 0
(k − 1)² − 4 . 1 . 1 > 0
k² − 2k  + 1 − 4  > 0
k² − 2k − 3  > 0

Pembuat nol :
k² − 2k − 3  = 0
(k + 1)(k − 3) = 0
k = −1 atau k = 3

k < −1 atau k > 3


Contoh 4
Jika akar-akar persamaan kuadrat $\mathrm{2x^{2}+(m-3)x+1-m^{2}=0}$ saling berlawanan, tentukan nilai dari $\mathrm{x{_{1}}^{2}+x{_{2}}^{2}}$!

Jawab :
a = 2
b = m − 3
c = 1 − m²

Kedua akar saling berlawanan, maka :
x₁ + x₂ = 0
$\mathrm{-\frac{b}{a}}$ = 0
b = 0
m − 3 = 0
m = 3

x₁ x₂ = $\mathrm{\frac{c}{a}}$
x₁ x₂ = $\mathrm{\frac{1-m^{2}}{2}}$
x₁ x₂ = $\mathrm{\frac{1-3^{2}}{2}}$
x₁ x₂ = −4

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁ x₂
x₁² + x₂² = (0)² − 2(−4)
x₁² + x₂² = 8


Contoh 5
Diketahui  akar-akar persamaan kuadrat $\mathrm{(2p+1)x^{2}+25x+p^{2}-14=0}$ saling berkebalikan. Untuk p > 0, maka nilai p yang memenuhi adalah...

Jawab :
a = 2p + 1
b = 25
c = p² − 14

Kedua akar saling berkebalikan maka :
x₁ x₂ = 1
$\mathrm{\frac{c}{a}}$ = 1
c = a
p² − 14 = 2p + 1
p² − 2p − 15 = 0
(p − 5)(p + 3) = 0
p = 5 atau p = −3

Karena p > 0, maka nilai p yang memenuhi adalah p = 5