Bentuk umum fungsi kuadrat : $$\mathrm{f(x)=ax^{2}+bx+c}$$
dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0.
Jika digambarkan pada bidang koordinat, maka grafik fungsi kuadrat akan berbentuk sebuah parabola dengan karakteristik tergantung dari nilai a, b dan c fungsi kuadrat tersebut.
Hubungan nilai diskriminan grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu-x :
Posisi titik puncak grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu-y :
Titik potong sumbu-y grafik fungsi kuadrat :
Contoh 1
Jika grafik \(\mathrm{f(x)=x^{2}+(m+3)x+2m+3}\) memotong sumbu-x di dua titik, maka batas-batas nilai m yang memenuhi adalah...
Jawab :
a = 1
b = m + 3
c = 2m + 3
Grafik memotong sumbu-x di dua titik, maka :
D > 0
b2 − 4ac > 0
(m + 3)2 − 4 . 1 (2m + 3) > 0
m2 + 6m + 9 − 8m −12 > 0
m2 − 2m − 3 > 0
Pembuat nol :
m2 − 2m − 3 = 0
(m + 1)(m − 3) = 0
m = −1 atau m = 3
Dengan uji garis bilangan diperoleh :
m < −1 atau m > 3
Contoh 2
Jika grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{y=ax^{2}+bx+c}\) menyinggung garis \(\mathrm{y=px+q}\), tunjukkan bahwa (b − p)2 − 4a(c − q) = 0
Jawab :
Jika parabola menyinggung garis, maka diskriminan persamaan kuadrat gabungannya akan bernilai nol.
ax2 + bx + c = px + q
ax2 + bx − px + c − q = 0
ax2 + (b − p)x + c − q = 0
a = a
b = b − p
c = c − q
D = 0
b2 − 4ac = 0
(b − p)2 − 4a(c − q) = 0
Contoh 3
Grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=2x^{2}+kx+3}\) menyinggung garis \(\mathrm{y=2x+1}\). Untuk k > 0, maka nilai k yang memenuhi adalah...
Jawab :
Cara I
2x2 + kx + 3 = 2x + 1
k2 − 4k + 4 − 16 = 0
k2 − 4k − 12 = 0
(k + 2)(k − 6 ) = 0
k = −2 atau k = 6
Karena k > 0, maka k = 6.
Cara II
f(x) = 2x2 + kx + 3
a = 2 ; b = k ; c = 3
y = 2x + 1
p = 2 ; q = 1
(b − p)2 − 4a(c − q) = 0
(k − 2)2 − 4 . 2 (3 − 1) = 0
k2 − 4k + 4 − 16 = 0
k2 − 4k − 12 = 0
(k + 2)(k − 6 ) = 0
k = −2 atau k = 6
Karena k > 0, maka k = 6.
Syarat definit positif : a > 0 dan D < 0
Fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=ax^{2}+bx+c}\) dikatakan definit negatif jika f(x) selalu bernilai negatif untuk setiap x bilangan real.
Syarat definit negatif : a < 0 dan D < 0
Ciri-ciri grafik fungsi definit negatif :
Contoh 4
Jika fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=3x^{2}+px+12}\) definit positif, maka batas-batas nilai p yang memenuhi adalah...
Jawab :
a = 3
b = p
c = 12
Syarat definit positif : a > 0 dan D < 0
a > 0
3 > 0 (memenuhi)
D < 0
b2 − 4ac < 0
p2 − 4 . 3 . 12 < 0
p2 − 144 < 0
Pembuat nol :
p2 − 144 = 0
(p + 12)(p − 12) = 0
p = −12 atau p = 12
Dengan uji garis bilangan diperoleh :
−12 < p < 12
Contoh 5
Fungsi \(\mathrm{f(x)=(m-3)x^{2}+2mx+m+2}\) akan menjadi fungsi definit negatif bila nilai m berada pada interval...
Jawab :
a = m − 3
b = 2m
c = m + 2
Syarat definit negatif : a < 0 dan D < 0
a < 0
m − 3 < 0
m < 3 ...................................(1)
D < 0
b2 − 4ac < 0
(2m)2 − 4 (m − 3)(m + 2) < 0
4m2 − 4(m2 − m − 6) < 0
4m2 − 4m2 + 4m + 24 < 0
4m < −24
m < −6 ..................................(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh irisan :
m < −6
Jika digambarkan pada bidang koordinat, maka grafik fungsi kuadrat akan berbentuk sebuah parabola dengan karakteristik tergantung dari nilai a, b dan c fungsi kuadrat tersebut.
Karakteristik Grafik Fungsi Kuadrat y = f(x)
Diberikan grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=ax^{2}+bx+c}\).
- Jika a > 0, maka parabola terbuka ke atas dan titik puncaknya merupakan titik balik minimum.
- Jika a < 0, maka parabola terbuka ke bawah dan titik puncaknya merupakan titik balik maksimum.
Hubungan nilai diskriminan grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu-x :
- D > 0 : Parabola memotong sumbu-x di dua titik.
- D = 0 : Parabola menyinggung sumbu-x
- D < 0 : Parabola tidak memotong sumbu-x
Posisi titik puncak grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu-y :
- ab > 0 : Titik puncak berada disebelah kiri sumbu-y
- b = 0 : Titik puncak berada pada sumbu-y
- ab < 0 : Titik puncak berada disebelah kanan sumbu-y
Titik potong sumbu-y grafik fungsi kuadrat :
- c > 0 : Parabola memotong sumbu y positif
- c = 0 : Parabola memotong sumbu y di titik (0,0)
- c < 0 : Parabola memotong sumbu-y negatif
Contoh 1
Jika grafik \(\mathrm{f(x)=x^{2}+(m+3)x+2m+3}\) memotong sumbu-x di dua titik, maka batas-batas nilai m yang memenuhi adalah...
Jawab :
a = 1
b = m + 3
c = 2m + 3
Grafik memotong sumbu-x di dua titik, maka :
D > 0
b2 − 4ac > 0
(m + 3)2 − 4 . 1 (2m + 3) > 0
m2 + 6m + 9 − 8m −12 > 0
m2 − 2m − 3 > 0
Pembuat nol :
m2 − 2m − 3 = 0
(m + 1)(m − 3) = 0
m = −1 atau m = 3
Dengan uji garis bilangan diperoleh :
m < −1 atau m > 3
Contoh 2
Jika grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{y=ax^{2}+bx+c}\) menyinggung garis \(\mathrm{y=px+q}\), tunjukkan bahwa (b − p)2 − 4a(c − q) = 0
Jawab :
Jika parabola menyinggung garis, maka diskriminan persamaan kuadrat gabungannya akan bernilai nol.
ax2 + bx + c = px + q
ax2 + bx − px + c − q = 0
ax2 + (b − p)x + c − q = 0
a = a
b = b − p
c = c − q
D = 0
b2 − 4ac = 0
(b − p)2 − 4a(c − q) = 0
Grafik fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=2x^{2}+kx+3}\) menyinggung garis \(\mathrm{y=2x+1}\). Untuk k > 0, maka nilai k yang memenuhi adalah...
Jawab :
Cara I
2x2 + kx + 3 = 2x + 1
2x2 + kx − 2x + 3 − 1 = 0
2x2 + (k − 2)x + 2 = 0
a = 2
b = k − 2
c = 2
D = 0
b2 − 4ac = 0
(k − 2)2 − 4 . 2 . 2 = 0k2 − 4k + 4 − 16 = 0
k2 − 4k − 12 = 0
(k + 2)(k − 6 ) = 0
k = −2 atau k = 6
Karena k > 0, maka k = 6.
Cara II
f(x) = 2x2 + kx + 3
a = 2 ; b = k ; c = 3
y = 2x + 1
p = 2 ; q = 1
(b − p)2 − 4a(c − q) = 0
(k − 2)2 − 4 . 2 (3 − 1) = 0
k2 − 4k + 4 − 16 = 0
k2 − 4k − 12 = 0
(k + 2)(k − 6 ) = 0
k = −2 atau k = 6
Karena k > 0, maka k = 6.
Definit Positif dan Definit Negatif
Fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=ax^{2}+bx+c}\) dikatakan definit positif jika f(x) selalu bernilai positif untuk setiap x bilangan real.Syarat definit positif : a > 0 dan D < 0
Ciri-ciri grafik fungsi definit positif :
- Grafik tidak memotong sumbu-x.
- Untuk setiap nilai x, grafiknya selalu berada di atas sumbu-x.
Syarat definit negatif : a < 0 dan D < 0
- Grafik tidak memotong sumbu-x
- Untuk setiap nilai x, grafiknya selalu berada di bawah sumbu-x.
Contoh 4
Jika fungsi kuadrat \(\mathrm{f(x)=3x^{2}+px+12}\) definit positif, maka batas-batas nilai p yang memenuhi adalah...
Jawab :
a = 3
b = p
c = 12
Syarat definit positif : a > 0 dan D < 0
a > 0
3 > 0 (memenuhi)
D < 0
b2 − 4ac < 0
p2 − 4 . 3 . 12 < 0
p2 − 144 < 0
Pembuat nol :
p2 − 144 = 0
(p + 12)(p − 12) = 0
p = −12 atau p = 12
Dengan uji garis bilangan diperoleh :
−12 < p < 12
Contoh 5
Fungsi \(\mathrm{f(x)=(m-3)x^{2}+2mx+m+2}\) akan menjadi fungsi definit negatif bila nilai m berada pada interval...
Jawab :
a = m − 3
b = 2m
c = m + 2
Syarat definit negatif : a < 0 dan D < 0
a < 0
m − 3 < 0
m < 3 ...................................(1)
D < 0
b2 − 4ac < 0
(2m)2 − 4 (m − 3)(m + 2) < 0
4m2 − 4(m2 − m − 6) < 0
4m2 − 4m2 + 4m + 24 < 0
4m < −24
m < −6 ..................................(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh irisan :
m < −6
EmoticonEmoticon