Satuan Ukuran Sudut : Derajat dan Radian

Secara umum, ada dua satuan yang digunakan dalam pengukuran sudut, yaitu derajat (°) dan radian (rad). Adapun hubungan antara keduanya adalah sebagai berikut :

1 r a d = 57, {2958...}^{\circ}

$\mathrm{1\;rad=57,2958...^{\circ}}$

1^{\circ} = 0, 0174... r a d

$\mathrm{1^{\circ}=0,0174...\;rad}$ Pertanyaannya adalah darimana angka-angka tersebut didapatkan. Untuk menjawab pertanyaan ini, kita dapat memulai dari definisi berikut.

Satu radian didefinisikan sebagai besar sudut pusat yang panjang busurnya sama dengan jari-jari.

Untuk menemukan hubungan radian dan derajat, kita dapat menggunakan konsep perbandingan sudut pusat dan panjang busur.

\frac{s u d u t p u s a t}{360^{\circ}} = \frac{p a n j a n g b u s u r}{k e l i l i n g}

$\mathrm{\frac{sudut\;pusat}{360^{\circ}}=\frac{panjang\;busur}{keliling}}$
sudut pusat = 1 rad
panjang busur = r
keliling = 2πr

Dengan menggunakan perbandingan diatas

\frac{1 r a d}{360^{\circ}} = \frac{r}{2 π r}

$\mathrm{\frac{1\;rad}{360^{\circ}}=\frac{r}{2\pi r}}$
Jika disederhanakan akan diperoleh persamaan

π r a d = 180^{\circ}

$\mathrm{\mathbf{\pi \;rad=180^{\circ}}}$

Jika kedua ruas pada persamaan diatas dibagi π, akan diperoleh

1 r a d = \frac{180^{\circ}}{π} \approx 57, 29^{\circ}

$\mathrm{1\;rad=\frac{180^{\circ}}{\pi }\approx 57,29^{\circ}}$
dan jika kedua ruas dibagi 180, akan diperoleh

1^{\circ} = \frac{π}{180} r a d \approx 0, 02 r a d

$\mathrm{1^{\circ}=\frac{\pi }{180}\;rad\approx 0,02\;rad}$

Konversi Radian ke Derajat

Karena 1 rad =

\frac{180^{\circ}}{π}

$\mathrm{\frac{180^{\circ}}{\pi }}$ , untuk mengubah x radian ke derajat dapat dilakukan dengan mengalikan x dengan

\frac{180^{\circ}}{π}

$\mathrm{\frac{180^{\circ}}{\pi }}$ , ditulis

x r a d = x \cdot \frac{180^{\circ}}{π}

$\mathrm{x\;rad\;=x\cdot \frac{180^{\circ}}{\pi } }$
Contoh 1
Ubahlah sudut-sudut berikut dalam derajat
a.

\frac{π}{3}

$\frac{\pi}{3}$ rad = ... °
b. 4π rad = ... °

Jawab :
a.

\frac{π}{3}

$\frac{\pi}{3}$ rad =

\frac{π}{3}

$\frac{\pi}{3}$ .

\frac{180^{\circ}}{π}

$\mathrm{\frac{180^{\circ}}{\pi }}$ = 60°
b. 4π rad = 4π .

\frac{180^{\circ}}{π}

$\mathrm{\frac{180^{\circ}}{\pi }}$ = 720°

Konversi Derajat ke Radian

Karena 1° =

\frac{π}{180}

$\mathrm{\frac{\pi}{180}}$ rad, untuk mengubah x derajat ke radian dapat dilakukan dengan mengalikan x dengan

\frac{π}{180}

$\mathrm{\frac{\pi}{180}}$ rad, ditulis

x^{\circ} = x \cdot \frac{π}{180} r a d

$\mathrm{x^{\circ}=x\cdot \frac{\pi }{180}rad}$
Contoh 2

Ubahlah sudut-sudut berikut dalam radian

a. 30° = ... rad

b. 270° = ... rad

Jawab :
a. 30° = 30 .

\frac{π}{180}

$\mathrm{\frac{\pi}{180}}$ rad =

\frac{π}{6}

$\mathrm{\frac{\pi}{6}}$ rad
b. 270° = 270 .

\frac{π}{180}

$\mathrm{\frac{\pi}{180}}$ rad =

\frac{3 π}{2}

$\mathrm{\frac{3\pi}{2}}$ rad

Sudut dalam Derajat Menit Detik

Pengukuran sudut dari jarak yang sangat jauh seperti pengukuran garis lintang dan garis bujur ataupun pengukuran di bidang astronomi, dibutuhkan ketelitian yang sangat tinggi. Untuk itu hasil pengukuran dapat berupa derajat desimal.

Sudut dalam derajat desimal biasa ditulis dalam bentuk derajat (°) menit (') dan detik (''), yang sering disebut dengan DMS (Degree Minute Second). Sebagai contoh 47°15' 45'' dibaca 47 derajat 15 menit 45 detik.

Satu derajat didefinisikan sebesar 60 menit, ditulis

1^{\circ} = 60^{'}

$1^{\circ}=60'$ Satu menit didefinisikan sebesar 60 detik, ditulis

1^{'} = 60^{″}

$1'=60''$
Untuk mengubah derajat desimal ke bentuk Derajat Menit Detik atau sebaliknya, dapat disimak pada contoh berikut.

Contoh 3
Ubahlah sudut 35,12° ke dalam bentuk derajat menit dan detik

Jawab :
35,12° = 35° + 0,12°
35,12° = 35° + 0,12 (60')
35,12° = 35° + 7,2'
35,12° = 35° + 7' + 0,2'
35,12° = 35° + 7' + 0,2 (60'')
35,12° = 35° + 7' + 12''
35,12° = 35°7'12''

Contoh 4
Ubahlah sudut 47°15'45'' ke dalam bentuk derajat desimal

Jawab :
47°19'12'' = 47° + 19' + 12''
47°15'45'' = 47° + 19' + 12

{(\frac{1}{60})}^{'}

$\left ( \frac{1}{60} \right )'$
47°15'45'' = 47° + 19' + 0,2'
47°15'45'' = 47° + 19,2'
47°15'45'' = 47° + 19,2

{(\frac{1}{60})}^{\circ}

$\left ( \frac{1}{60} \right )^{\circ}$
47°15'45'' = 47° + 0,32°
47°15'45'' = 47,32°

Hubungan Putaran dengan Besar Sudut

Besar sudut yang dibentuk dalam satu putaran adalah 360°, dapat ditulis

1 p u t a r a n = 360^{\circ}

$\mathrm{\mathbf{1\;putaran=360^{\circ}}}$ sehingga

1^{\circ} = \frac{1}{360} p u t a r a n

$\mathrm{\mathbf{1^{\circ}=\frac{1}{360}\;putaran}}$
Contoh 5
Selesaikan persamaan berikut
a.

\frac{3}{4}

$\frac{3}{4}$ putaran = ... °
b. 45° = ... putaran
c. 2 putaran = ... rad
d.

\frac{π}{3}

$\frac{\pi}{3}$ rad = ... putaran

Jawab :
a.

\frac{3}{4}

$\frac{3}{4}$ putaran =

\frac{3}{4}

$\frac{3}{4}$ . 360° = 270°

b. 45° = 45 .

\frac{1}{360}

$\frac{1}{360}$ putaran =

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ putaran

c. 2 putaran = 2 . 2π rad = 4π rad

d.

\frac{π}{3}

$\frac{\pi}{3}$ rad =

\frac{π}{3}

$\frac{\pi}{3}$ .

\frac{1}{2 π}

$\frac{1}{2\pi}$ putaran =

\frac{1}{6}

$\frac{1}{6}$ putaran