Integral Fungsi Aljabar

Secara umum integral dapat dibedakan menjadi dua, yaitu integral tak tentu dan integral tentu.

Integral tak tentu fungsi f(x) dinyatakan oleh :

∫ f(x) dx = F(x) + C

dengan :
f(x) = integran/fungsi yang diintegralkan
F(X) = anti turunan dari f(x)
C = konstanta

Rumus-Rumus Dasar Integral

Untuk f(x) = a dengan a konstan, maka :
$$\mathrm{\mathbf{\int a\:dx=ax+C}}$$ Contoh
1.  ∫ 2 dx = 2x + C
2.  ∫ \(\frac{1}{2}\) dx = \(\frac{1}{2}\)x + C


Untuk f(x) = axⁿ , n ≠ −1 maka :
$$\mathrm{\mathbf{\int ax^{n}\:dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C}}$$ Contoh
1.  ∫ 2x⁴ dx = ...

     Jawab :
     ⇒ \(\mathrm{\frac{2}{4+1}}\)x⁴⁺¹ + C
     ⇒ \(\mathrm{\frac{2}{5}}\)x⁵ + C

2.   ∫ x^-6 dx = ...

     Jawab :
     ⇒ \(\mathrm{\frac{1}{-6+1}}\)x^-6+1 + C
     ⇒ \(\mathrm{-\frac{1}{5}}\)x^-5 + C


Untuk f(x) = (ax + b)ⁿ , n ≠ −1 maka :

$$\mathrm{\mathbf{\int (ax+b)^{n}\:dx=\frac{1}{a(n+1)}x^{n+1}+C}}$$ Contoh

1.  ∫ (2x − 1) ⁴ dx = ...

     Jawab :

     ⇒ \(\mathrm{\frac{1}{2(4+1)}}\)(2x − 1)⁴⁺¹ + C
     ⇒ \(\mathrm{\frac{1}{10}}\)(2x − 1)⁵ + C


2.  ∫ (x + 1)^-7 dx = ...

     Jawab :
     ⇒ \(\mathrm{\frac{1}{1(-7+1)}}\)(x + 1)^-7+1 + C
     ⇒ \(\mathrm{-\frac{1}{6}}\)(x + 1)^-6 + C


Untuk f(x) = \(\mathrm{\mathbf{\frac{1}{x}}}\), maka :
$$\mathrm{\int \mathbf{\frac{1}{x}\:dx=ln|x|+C}}$$

Untuk menentukan integral yang integrannya memuat bentuk akar atau pecahan, langkah awal yang harus dilakukan adalah mengubah terlebih dahulu integran tersebut ke bentuk eksponen (pangkat).
Berikut beberapa sifat akar dan pangkat yang sering digunakan :

1. \(\mathrm{x^{m}.\;x^{n}=x^{m+n}}\)
2. \(\mathrm{\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}}\)
3. \(\mathrm{\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}}\)
4. \(\mathrm{\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}\)
5. \(\mathrm{x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}}\)
6. \(\mathrm{\sqrt[\mathrm{n}]{\mathrm{x^{m}}}=x^{\frac{m}{n}}}\)

Contoh
1.  \(\mathrm{\int \sqrt{x}\:dx=}\)

     Jawab :
     \(\mathrm{\Rightarrow \int x^{\frac{1}{2}}\:dx}\)
     \(\mathrm{=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}+C}\)
     \(\mathrm{=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C}\)
     \(\mathrm{=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C}\)

2.  \(\mathrm{\int \frac{1}{x^{2}}\:dx=}\)

     Jawab :
     \(\mathrm{\Rightarrow \int x^{-2}\:dx}\)
     \(\mathrm{=\frac{1}{-2+1}x^{-2+1}+C}\)
     \(\mathrm{=-x^{-1}+C}\)
     \(\mathrm{=-\frac{1}{x}+C}\)

3.  \(\mathrm{\int x\sqrt[3]{\mathrm{x^{2}}}\:dx=}\)

     Jawab :
     \(\mathrm{\Rightarrow \int x.x^{\frac{2}{3}}\:dx}\)
     \(\mathrm{\Rightarrow \int x^{\frac{5}{3}}\:dx}\)
     \(\mathrm{=\frac{1}{\frac{5}{3}+1}x^{\frac{5}{3}+1}+C}\)
     \(\mathrm{=\frac{3}{8}x^{\frac{8}{3}}+C}\)
     \(\mathrm{=\frac{3}{8}\sqrt[3]{x^{8}}+C}\) atau
     \(\mathrm{=\frac{3}{8}x^{2}\sqrt[3]{x^{2}}+C}\)

Sifat-Sifat Integral

1.  ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx   (k = konstan)

     Contoh
     ∫ 3x⁴ dx = 3 ∫ x⁴ dx
     ∫ 3x⁴ dx = 3 . \(\mathrm{\frac{1}{5}x^{5}+C}\)
     ∫ 3x⁴ dx =  \(\mathrm{\frac{3}{5}x^{5}+C}\)

2.  ∫{f(x) ± g(x)} dx =  ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

     Contoh

     ∫ (4x² + 3x − 2) dx = ...

     ⇒  ∫ 4x² dx + ∫ 3x dx − ∫ 2 dx

     = \(\mathrm{\frac{4}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-2x+C}\)

Contoh-Contoh Latihan Soal Integral Fungsi Aljabar

Contoh 1
Tentukan integral berikut !

   
a.  ∫ (3x⁷ − π) dx = ...
     Jawab :
     = \(\mathrm{\frac{3}{7+1}}\)x⁷⁺¹ − πx + C
     = \(\mathrm{\frac{3}{8}}\)x⁸ − πx + C

b. ∫ (6x⁵ + 2x³ − x²) dx = ...
     Jawab :
     \(\mathrm{= \frac{6}{5+1}x^{5+1}+\frac{2}{3+1}x^{3+1}-\frac{1}{2+1}x}^{2+1}+C\)
     \(\mathrm{= x^{6}+\frac{1}{2}x^{4}-\frac{1}{3}x}^{3}+C\)

c. \(\mathrm{\int \frac{6x^{5}-2x^{4}+9}{x^{4}}\:dx=...}\)
     Jawab :
     \(\mathrm{\Rightarrow \int \left (\frac{6x^{5}}{x^{4}}-\frac{2x^{4}}{x^{4}}+\frac{9}{x^{4}}  \right )\:dx}\)
     \(\mathrm{\Rightarrow \int \left (6x-2+9x^{-4}  \right )dx}\)
     \(\mathrm{=\frac{6}{1+1}x^{1+1}-2x+\frac{9}{-4+1}x^{-4+1}+C}\)
     \(\mathrm{=3x^{2}-2x-3x^{-3}+C}\)
     \(\mathrm{=3x^{2}-2x-\frac{3}{x^{3}}+C}\)

d. \(\mathrm{\int \left (\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}  \right )\:dx=...}\)
     Jawab :
     \(\mathrm{\Rightarrow \int \left ( x^{\frac{1}{2}}+2x^{-\frac{1}{2}} \right )dx}\)
     \(\mathrm{=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1}+\frac{2}{-\frac{1}{2}+1}x^{-\frac{1}{2}+1}+C}\)
     \(\mathrm{=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+4x^{\frac{1}{2}}+C}\)
     \(\mathrm{=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+4\sqrt{x}+C}\)

e. \(\mathrm{\int \left ( x\sqrt{x}-\frac{x}{\sqrt{x}} \right )dx=...}\)
     Jawab :
     \(\mathrm{\Rightarrow \int \left (x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{1}{2}}  \right )dx}\)
     \(\mathrm{=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C}\)
     \(\mathrm{=\frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C}\)

f.  \(\mathrm{\int \left ( \sqrt{x}+\frac{1}{ \sqrt{x}} \right )^{2}\:dx=}\)
     Jawab :
     \(\mathrm{\Rightarrow \int \left (x+2+\frac{1}{x}  \right )\:dx}\)
     \(\mathrm{=\frac{1}{1+1}x^{1+1}+2x+ln|x|+C}\)
     \(\mathrm{=\frac{1}{2}x^{2}+2x+ln|x|+C}\)

g.  \(\mathrm{\int \frac{1}{\sqrt[3]{(3x+1)^{2}}}\:dx}\)
     Jawab :
     \(\mathrm{\Rightarrow \int (3x+1)^{-\frac{2}{3}}\:dx}\)
     \(\mathrm{=\frac{1}{3\left ( -\frac{2}{3}+1 \right )}(3x+1)^{-\frac{2}{3}+1}+C}\)
     \(\mathrm{=(3x+1)^{\frac{1}{3}}+C}\)
     \(\mathrm{=\sqrt[3]{3x+1}+C}\)


Contoh 2
Tentukan f(x) jika diketahui :

a.  f '(x)  = 2x + 2 ; f(0) = −1

     Jawab :
     f(x) = ∫ f '(x) dx
     f(x) = ∫ (2x + 2) dx
     f(x) = x² + 2x + C

     f(0) = −1
     ⇔  (0)² + 2(0) + C = −1
     ⇔  C = −1

     Jadi, f(x) = x² + 2x − 1

b.  f ''(x) = 12x − 2 ; f(0) = 2 dan f '(1) = 4

     Jawab :
     f '(x) = ∫ f ''(x) dx
     f '(x) =  ∫ (12x − 2) dx
     f '(x) = 6x² − 2x + C

     f '(1) = 4
     ⇔  6(1)² − 2(1) + C = 4
     ⇔  C = 0

     diperoleh : f '(x) = 6x² − 2x

     f(x) = ∫ f '(x) dx
     f(x) = ∫ (6x² − 2x) dx
     f(x) = 2x³ − x² + C

     f(0) = 2
     ⇔  2(0)³ − (0)² + C = 2
     ⇔  C = 2

     Jadi, f(x) = 2x³ − x² + 2