Integral Fungsi Trigonometri

Rumus-Rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri

     ∫ sin x dx = −cos x + C
     ∫ cos x dx = sin x + C

     ∫ sec² x dx = tan x + C
     ∫ csc² x dx = −cot x + C
     ∫ sec x . tan x dx = sec x + C
     ∫ csc x . cot x dx = −csc x + C

Perluasan Rumus

     ∫ sin ax dx = −$\mathrm{\frac{1}{a}}$cos ax + C
     ∫ sin (ax + b) dx = −$\mathrm{\frac{1}{a}}$cos (ax + b) + C

Untuk fungsi trigonometri lainnya dapat ditentukan dengan mengikuti pola diatas yang tentunya juga harus menyesuaikan dengan rumus dasar.

Contoh
a. ∫ sin 3x dx = $-\frac{1}{3}$cos 3x + C
b. ∫ 2 cos(3x + 1) dx = $\frac{2}{3}$sin (3x + 1) + C
c. ∫ 3 sec² (4x − 1) dx = $\frac{3}{4}$tan (4x − 1) + C
d. ∫ csc 4x . cot 4x dx = −$\frac{1}{4}$csc 4x + C

Terkadang fungsi-fungsi trigonometri yang diberikan belum tentu dapat diintegralkan secara langsung, untuk itu perlu terlebih dahulu diubah agar dapat diselesaikan dengan rumus-rumus diatas.
Berikut beberapa konsep trigonometri yang sering digunakan :

sin A = $\mathrm{\frac{1}{csc\,A}}$
cos A = $\mathrm{\frac{1}{sec\,A}}$
tan A = $\mathrm{\frac{sin\,A}{cos\,A}}$
cot A = $\mathrm{\frac{cos\,A}{sin\,A}}$

sin²A + cos²A = 1
tan²A = sec²A − 1
cot²A = csc²A − 1

sin 2A = 2 sin A cos A
cos 2A = cos²A − sin²A
cos 2A = 1 − 2sin²A
cos 2A = 2cos²A − 1

sin²A = $\mathrm{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}$cos 2A
cos²A = $\mathrm{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$cos 2A

2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A−B)
2 cos A sin B = sin (A+B) − sin (A−B)
2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A−B)
−2 sin A sin B = cos (A+B) − cos (A−B)

Contoh Soal Integral Fungsi Trigonometri

Contoh 1
∫ sin²x dx = ...

Jawab :
⇒ ∫ ($\mathrm{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}$cos 2x) dx
= $\frac{1}{2}$x − $\frac{1}{2}$. $\frac{1}{2}$sin 2x + C
= $\frac{1}{2}$x − $\frac{1}{4}$sin 2x + C


Contoh 2
∫ (sin 3x − cos 3x)² dx = ...

Jawab :
⇒ ∫ (sin²3x + cos²3x − 2 sin 3x cos 3x) dx
⇒ ∫ (1 − sin 2.3x) dx
⇒ ∫ (1 − sin 6x) dx
= x − ($-\frac{1}{6}$cos 6x) + C
= x + $\frac{1}{6}$cos 6x + C


Contoh 3
 ∫ (tan²4x + 3) dx = ...

Jawab :
⇒ ∫ (sec²4x − 1 + 3) dx
⇒ ∫ (sec²4x + 2) dx
= $\frac{1}{4}$tan 4x + 2x + C


Contoh 4
∫ (tan 2x − sec 2x)² dx = ...

Jawab :
⇒ ∫ (tan²2x + sec²2x − 2 sec 2x tan 2x) dx
⇒ ∫ (sec²2x − 1 + sec²2x − 2 sec 2x tan 2x) dx
⇒ ∫ (2sec²2x − 2 sec 2x tan 2x − 1) dx
= $\frac{2}{2}$tan 2x − $\frac{2}{2}$sec 2x − x + C
= tan 2x − sec 2x − x + C


Contoh 5
∫ 4 sin 4x cos 2x dx = ...

Jawab :
⇒ ∫ $\frac{4}{2}$[sin (4x+2x) + sin (4x−2x)] dx
⇒ ∫ (2sin 6x + 2sin 2x) dx
= $-\frac{2}{6}$cos 6x + ($-\frac{2}{2}$cos 2x) + C
= $-\frac{1}{3}$cos 6x − cos 2x + C


Contoh 6
$\mathrm{\int \frac{1-tan^{2}x}{sec^{2}x}}$ dx = ...

Jawab :
⇒ ∫ $\mathrm{ \frac{1-(sec^{2}x-1)}{sec^{2}x}}$ dx
⇒ ∫ $\mathrm{ \frac{2-sec^{2}x}{sec^{2}x}}$ dx
⇒ ∫ $\mathrm{\left (\frac{2}{sec^{2}x}-\frac{sec^{2}x}{sec^{2}x}  \right )}$ dx
⇒ ∫ (2cos²x − 1) dx
⇒ ∫ cos 2x dx
= $\mathrm{\frac{1}{2}}$sin 2x + C