Integral Fungsi Trigonometri

Rumus-Rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri

     ∫ sin x dx = −cos x + C
     ∫ cos x dx = sin x + C
     ∫ sec² x dx = tan x + C
     ∫ csc² x dx = −cot x + C
     ∫ sec x . tan x dx = sec x + C
     ∫ csc x . cot x dx = −csc x + C

Perluasan Rumus

     ∫ sin ax dx = −\(\mathrm{\frac{1}{a}}\)cos ax + C
     ∫ sin (ax + b) dx = −\(\mathrm{\frac{1}{a}}\)cos (ax + b) + C

Untuk fungsi trigonometri lainnya dapat ditentukan dengan mengikuti pola diatas yang tentunya juga harus menyesuaikan dengan rumus dasar.

Contoh
a. ∫ sin 3x dx = \(-\frac{1}{3}\)cos 3x + C
b. ∫ 2 cos(3x + 1) dx = \(\frac{2}{3}\)sin (3x + 1) + C
c. ∫ 3 sec² (4x − 1) dx = \(\frac{3}{4}\)tan (4x − 1) + C
d. ∫ csc 4x . cot 4x dx = −\(\frac{1}{4}\)csc 4x + C

Terkadang fungsi-fungsi trigonometri yang diberikan belum tentu dapat diintegralkan secara langsung, untuk itu perlu terlebih dahulu diubah agar dapat diselesaikan dengan rumus-rumus diatas.
Berikut beberapa konsep trigonometri yang sering digunakan :

sin A = \(\mathrm{\frac{1}{csc\,A}}\)
cos A = \(\mathrm{\frac{1}{sec\,A}}\)
tan A = \(\mathrm{\frac{sin\,A}{cos\,A}}\)
cot A = \(\mathrm{\frac{cos\,A}{sin\,A}}\)

sin²A + cos²A = 1
tan²A = sec²A − 1
cot²A = csc²A − 1

sin 2A = 2 sin A cos A
cos 2A = cos²A − sin²A
cos 2A = 1 − 2sin²A
cos 2A = 2cos²A − 1

sin²A = \(\mathrm{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\)cos 2A
cos²A = \(\mathrm{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}\)cos 2A

2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A−B)
2 cos A sin B = sin (A+B) − sin (A−B)
2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A−B)
−2 sin A sin B = cos (A+B) − cos (A−B)

Contoh Soal Integral Fungsi Trigonometri

Contoh 1
∫ sin²x dx = ...

Jawab :
⇒ ∫ (\(\mathrm{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\)cos 2x) dx
= \(\frac{1}{2}\)x − \(\frac{1}{2}\). \(\frac{1}{2}\)sin 2x + C
= \(\frac{1}{2}\)x − \(\frac{1}{4}\)sin 2x + C


Contoh 2
∫ (sin 3x − cos 3x)² dx = ...

Jawab :
⇒ ∫ (sin²3x + cos²3x − 2 sin 3x cos 3x) dx
⇒ ∫ (1 − sin 2.3x) dx
⇒ ∫ (1 − sin 6x) dx
= x − (\(-\frac{1}{6}\)cos 6x) + C
= x + \(\frac{1}{6}\)cos 6x + C


Contoh 3
 ∫ (tan²4x + 3) dx = ...

Jawab :
⇒ ∫ (sec²4x − 1 + 3) dx
⇒ ∫ (sec²4x + 2) dx
= \(\frac{1}{4}\)tan 4x + 2x + C


Contoh 4
∫ (tan 2x − sec 2x)² dx = ...

Jawab :
⇒ ∫ (tan²2x + sec²2x − 2 sec 2x tan 2x) dx
⇒ ∫ (sec²2x − 1 + sec²2x − 2 sec 2x tan 2x) dx
⇒ ∫ (2sec²2x − 2 sec 2x tan 2x − 1) dx
= \(\frac{2}{2}\)tan 2x − \(\frac{2}{2}\)sec 2x − x + C
= tan 2x − sec 2x − x + C


Contoh 5
∫ 4 sin 4x cos 2x dx = ...

Jawab :
⇒ ∫ \(\frac{4}{2}\)[sin (4x+2x) + sin (4x−2x)] dx
⇒ ∫ (2sin 6x + 2sin 2x) dx
= \(-\frac{2}{6}\)cos 6x + (\(-\frac{2}{2}\)cos 2x) + C
= \(-\frac{1}{3}\)cos 6x − cos 2x + C


Contoh 6
\(\mathrm{\int \frac{1-tan^{2}x}{sec^{2}x}}\) dx = ...

Jawab :
⇒ ∫ \(\mathrm{ \frac{1-(sec^{2}x-1)}{sec^{2}x}}\) dx
⇒ ∫ \(\mathrm{ \frac{2-sec^{2}x}{sec^{2}x}}\) dx
⇒ ∫ \(\mathrm{\left (\frac{2}{sec^{2}x}-\frac{sec^{2}x}{sec^{2}x}  \right )}\) dx
⇒ ∫ (2cos²x − 1) dx
⇒ ∫ cos 2x dx
= \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)sin 2x + C