Secara umum, penyelesaian soal-soal SBMPTN 2017 untuk materi persamaan trigonometri dilakukan dengan cara mengubah persamaan trigonometri yang diberikan ke dalam bentuk persamaan kuadrat dengan variabelnya merupakan fungsi trigonometri tertentu. Oleh karenanya, penguasaan materi identitas trigonometri dan persamaan kuadrat akan sangat dibutuhkan.
1. SBMPTN 2017 Saintek 120
Jika x1 dan x2 adalah solusi dari \(\mathrm{sec\,x-2-15\,cos\,x=0}\) dengan 0 ≤ x ≤ π, x ≠ \(\frac{\pi}{2}\), maka \(\mathrm{\frac{1}{cos\,x_{1}\,\cdot\, cos\,x_{2}}=\,...}\)
(A) -20
(B) -15
(C) -10
(D) -5
(E) 0
Pembahasan :
sec x - 2 - 15cos x = 0
\(\mathrm{\frac{1}{cos\,x}}\) - 2 - 15cos x = 0 (× cos x)
1 - 2cos x - 15cos2x = 0
15cos2x + 2cos x - 1 = 0
Berdasarkan rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat, maka :
cos x1 . cos x2 = \(\frac{c}{a}\) = \(\frac{-1}{15}\)
Jadi, \(\mathrm{\frac{1}{cos\,x_{1}\,\cdot\, cos\,x_{2}}}\) = \(\frac{1}{\left ( -\frac{1}{15} \right )}\) = -15
Jawaban : B
2. SBMPTN 2017 Saintek 124
Jika x1 dan x2 adalah solusi dari \(\mathrm{\frac{2\,sin\,x\,cos\,2x}{cos\,x\,sin\,2x}-5\,tan\,x+5=0}\), maka tan (x1 + x2) = ...
(A) \(-\frac{5}{7}\)
(B) \(-\frac{5}{3}\)
(C) \(\frac{\sqrt{5}}{7}\)
(D) \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
(E) \(\frac{5}{3}\)
Pembahasan :
tan (A + B) = \(\mathrm{\frac{tan\,A\,+\,tan\,B}{1\,-\,tan\,A\,\cdot\,tan\,B}}\)
cot 2x = \(\mathrm{\frac{1\,-\,tan^{2}x}{2\,tan\,x}}\)
\(\mathrm{\frac{2\,sin\,x\,cos\,2x}{cos\,x\,sin\,2x}}\) - 5tan x + 5 = 0
2tan x . cot 2x - 5tan x + 5 = 0
2tan x . \(\mathrm{\frac{1\,-\,tan^{2}x}{2\,tan\,x}}\) - 5tan x + 5 = 0
1 - tan2x - 5tan x + 5 = 0
tan2x + 5tan x - 6 = 0
(tan x + 6)(tan x - 1) = 0
tan x = -6 atau tan x = 1
Untuk tan x1 = -6 dan tan x2 = 1, maka :
tan (x1 + x2) = \(\mathrm{\frac{tan\,x_{1}\,+\,tan\,x_{2}}{1\,-\,tan\,x_{1}\cdot tan\,x_{2}}}\) = \(\frac{-6\,+\,1}{1\,-\,(-6)(1)}\) = \(-\frac{5}{7}\)
3. SBMPTN 2017 Saintek 133
Banyaknya solusi yang memenuhi
-2tan x . sec x - 2tan x + 5sin x = 0 dengan 0 < x < π adalah ...
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4
Pembahasan :
-2tan x . sec x - 2tan x + 5sin x = 0
-2tan x (sec x + 1) + 5sin x = 0
5sin x = 2tanx (sec x + 1)
5sin x = \(\mathrm{\frac{2\,sin\,x}{cos\,x}}\)(sec x + 1)
5 = \(\mathrm{\frac{2}{cos\,x}}\)(sec x + 1)
5cos x = 2(sec x + 1)
5cos x = \(\mathrm{\frac{2}{cos\,x}}\) + 2 (× cos x)
5cos2x = 2 + 2cos x
5cos2x - 2cos x - 2 = 0
Dengan menggunakan rumus kuadrat diperoleh
cos x = \(\mathrm{\frac{2+\sqrt{44}}{10}}\) atau cos x = \(\mathrm{\frac{2-\sqrt{44}}{10}}\)
Selanjutnya, akan diperiksa apakah kedua persamaan diatas mempunyai solusi pada interval 0 < x < π. Jika keduanya mempunyai solusi, artinya persamaan trigonometri diatas mempunyai 2 buah solusi.
Untuk interval 0 < x < π, maka -1 < cos x < 1, dapat ditulis |cos x| < 1. Artinya, kedua persamaan diatas akan mempunyai solusi jika memenuhi |cos x| < 1.
\(\left | \mathrm{cos\,x} \right |=\left | \frac{2\,+\,\sqrt{44}}{10} \right |<\left | \frac{2\,+\,\sqrt{49}}{10} \right |=\left | \frac{9}{10} \right |<1\)
\(\left | \mathrm{cos\,x} \right |=\left | \frac{2\,-\,\sqrt{44}}{10} \right |<\left | \frac{2\,-\,\sqrt{49}}{10} \right |=\left | \frac{-5}{10} \right |<1\)
Karena keduanya memenuhi, kita simpulkan bahwa persamaan trigonometri diatas mempunyai 2 buah solusi.
Jawaban : C
4. SBMPTN 2017 Saintek 134
Jika \(\mathrm{\frac{2\,tan\,x}{1\,-\,tan^{2}x}-5=0}\), dengan 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\) maka \(\mathrm{cos^{2}x-sin^{2}x=...}\)
(A) \(\frac{1}{\sqrt{26}}\)
(B) \(\frac{2}{\sqrt{26}}\)
(C) \(\frac{3}{\sqrt{26}}\)
(D) \(\frac{4}{\sqrt{26}}\)
(E) \(\frac{5}{\sqrt{26}}\)
Pembahasan :
Karena tan 2x = \(\mathrm{\frac{2\,tan\,x}{1\,-\,tan^{2}x}}\), akibatnya
\(\mathrm{\frac{2\,tan\,x}{1\,-\,tan^{2}x}}\) - 5 = 0 ⇔ tan 2x = 5
Berdasarkan gambar diatas :
tan 2x = 5 → cos 2x = \(\frac{1}{\sqrt{26}}\)
Karena cos 2x = cos2x - sin2x, maka
cos 2x = cos2x - sin2x = \(\frac{1}{\sqrt{26}}\)
Jawaban : A
5. SBMPTN 2017 Saintek 135
Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan \(\mathrm{2\,sin\,x+sec\,x-2\,tan\,x-1=0}\), maka nilai \(\mathrm{sin\,x_{1}+cos\,x_{2}}\) yang mungkin adalah ...
(A) \(\frac{4}{5}\)
(B) \(\frac{3}{4}\)
(C) \(\frac{4}{3}\)
(D) \(\frac{3}{2}\)
(E) 2
Pembahasan :
2sin x + sec x - 2tan x - 1 = 0
2sin x + \(\mathrm{\frac{1}{cos\,x}}\) - \(\mathrm{\frac{2\,sin\,x}{cos\,x}}\) - 1 = 0 (× cos x)
2sin x . cos x + 1 - 2sin x - cos x = 0
2sin x . cos x - 2sin x - cos x + 1 = 0
2sin x(cos x - 1) - (cos x - 1) = 0
(2sin x - 1)(cos x - 1) = 0
sin x = 1/2 atau cos x = 1
Untuk sin x1 = 1/2 dan cos x2 = 1, maka
sin x1 + cos x2 = 1/2 + 1 = 3/2
Jawaban : D
6. SBMPTN 2017 Saintek 136
Jika x1 dan x2 adalah solusi dari
2(cot 2x) (cot x) + cot x = 1, maka (cot x1) . (cot x2) = ...
(A) -2
(B) -1
(C) 1
(D) 2
(E) 3
Pembahasan :
cot 2x = \(\mathrm{\frac{cot^{2}x\,-\,1}{2\,cot\,x}}\)
2(cot 2x) (cot x) + cot x = 1
2 \(\left (\mathrm{\frac{cot^{2}x\,-\,1}{2\,cot\,x}} \right )\)cot x + cot x - 1 = 0
cot2x - 1 + cot x - 1 = 0
cot2x + cot x - 2 = 0
(cot x + 2)(cot x - 1) = 0
cot x = -2 atau cot x = 1
Untuk cot x1 = -2 dan cot x2 = 1, maka
(cot x1) . (cot x2) = (-2)(1) = -2
Jawaban : A
7. SBMPTN 2017 Saintek 140
Jika 2sin x + 3cot x - 3csc x = 0, dengan 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\), maka sin x . cos x = ...
(A) √3
(B) \(\frac{1}{2}\)√3
(C) \(\frac{1}{3}\)√3
(D) \(\frac{1}{4}\)√3
(E) \(\frac{1}{5}\)√3
Pembahasan :
2sin x + 3cot x - 3csc x = 0
2sin x + \(\mathrm{\frac{3\,cos\,x}{sin\,x}}\) - \(\mathrm{\frac{3}{sin\,x}}\) = 0 (× sin x)
2sin2x + 3cos x - 3 = 0
2(1 - cos2x) + 3cos x - 3 = 0
2 - 2cos2x + 3cos x - 3 = 0
2cos2x - 3cos x + 1 = 0
(2cos x - 1)(cos x - 1) = 0
cos x = 1/2 atau cos x = 1
Untuk 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\), maka cos x = 1 tidak mempunyai solusi.
cos x = 1/2 → sin x = \(\frac{1}{2}\)√3
Jadi, sin x . cos x = \(\frac{1}{2}\)√3 . \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{4}\)√3
Jawaban : D
8. SBMPTN 2017 Saintek 145
Diketahui persamaan \(\mathrm{sec\,\theta \left ( sec\,\theta (sin\,\theta )^{2}+\frac{2}{3}\sqrt{3}\,sin\,\theta \right )=1}\). Jika θ1 dan θ2 adalah solusi dari persamaan tersebut, maka nilai tan θ1 . tan θ2 = ...
(A) -1
(B) -0,5
(C) 0
(D) 0,5
(E) 1
Pembahasan :
sec θ (sec θ (sin θ)2 + \(\frac{2}{3}\)√3 sin θ) = 1
(sec θ (sin θ)2 + \(\frac{2}{3}\)√3 sin θ) = \(\mathrm{\frac{1}{sec\,\theta}}\)
\(\mathrm{\frac{1}{cos\,\theta}}\) . sin2θ + \(\frac{2}{3}\)√3 sin θ = cos θ (× cos θ)
sin2θ + \(\frac{2}{3}\)√3 sin θ . cos θ = cos2θ
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\). 2sinθ . cos θ = cos2θ - sin2θ
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\) . sin 2θ = cos 2θ
\(\mathrm{\frac{sin\,2\theta }{cos\,2\theta }}\) = \(\frac{3}{\sqrt{3}}\)
tan 2θ = √3
Berdasarkan rumus sudut rangkap, persamaan diatas dapat ditulis menjadi
\(\mathrm{\frac{2\,tan\,\theta }{1\,-\,tan^{2}\theta }}\) = √3
2tan θ = √3 - √3 tan2θ
√3 tan2θ + 2tan θ - √3 = 0
(√3 tan θ - 1)(tan θ + √3) = 0
tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) atau tan θ = -√3
Untuk tan θ1 = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) dan tan θ2 = -√3, maka :
tan θ1 . tan θ2 = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) . (-√3) = -1
Jawaban : A
9. SBMPTN 2017 Saintek 146
Jika x1 dan x2 adalah solusi dari \(\mathrm{csc^{2}x+3\,csc\,x-10=0}\), dengan \(-\frac{\pi}{2}\) < x < \(\frac{\pi}{2}\), x ≠ 0, maka \(\mathrm{\frac{sin\,x_{1}\,+\,sin\,x_{2}}{sin\,x_{1}\,\cdot\, sin\,x_{2}}=...}\)
(A) -1
(B) -2
(C) -3
(D) -4
(E) -5
Pembahasan :
csc2x + 3csc x - 10 = 0
(csc x + 5)(csc x - 2) = 0
csc x = -5 atau csc x = 2
csc x = -5 ⇔ sin x = -\(\frac{1}{5}\)
csc x = 2 ⇔ sin x = \(\frac{1}{2}\)
Untuk sin x1 = -\(\frac{1}{5}\) dan sin x2 = \(\frac{1}{2}\), maka
\(\mathrm{\frac{sin\,x_{1}\,+\,sin\,x_{2}}{sin\,x_{1}\,\cdot\, sin\,x_{2}}}\) = \(\frac{-\frac{1}{5}\,+\,\frac{1}{2}}{-\frac{1}{5}\,\cdot \,\frac{1}{2}}\) = \(\frac{\frac{3}{10}}{-\frac{1}{10}}\) = -3
Jawaban : C
10. SBMPTN 2017 Saintek 148
Jika cot x ≠ 1, dan cot2x - 6cot x = 1, maka nilai \(\mathrm{\left | sin\,x_{1}\cdot sin\,x_{2} \right |}\) adalah ...
(A) \(\frac{1}{\sqrt{10}}\)
(B) \(\frac{1}{2\sqrt{10}}\)
(C) \(\frac{1}{3\sqrt{10}}\)
(D) \(\frac{1}{4\sqrt{10}}\)
(E) \(\frac{1}{5\sqrt{10}}\)
Pembahasan :
Dengan menggunakan rumus kuadrat pada persamaan cot2x - 6cot x - 1 = 0 akan diperoleh :
cot x = 3 + √10 atau cot x = 3 - √10
Berdasarkan gambar diatas :
cot x = 3 + √10 → |sin x| = \(\frac{1}{\sqrt{20\,+\,6\sqrt{10}}}\)
cot x = 3 - √10 → |sin x| = \(\frac{1}{\sqrt{20\,-\,6\sqrt{10}}}\)
Untuk |sin x1| = \(\frac{1}{\sqrt{20\,+\,6\sqrt{10}}}\) dan |sin x2| = \(\frac{1}{\sqrt{20\,-\,6\sqrt{10}}}\) maka
|sin x1 . sin x2| = |sin x1| . |sin x2 |
|sin x1 . sin x2| = \(\frac{1}{\sqrt{20\,+\,6\sqrt{10}}}\) . \(\frac{1}{\sqrt{20\,-\,6\sqrt{10}}}\)
|sin x1 . sin x2| = \(\frac{1}{\sqrt{\left ( 20\,+\,6\sqrt{10} \right )\left ( 20\,-\,6\sqrt{10} \right )}}\)
|sin x1 . sin x2| = \(\frac{1}{\sqrt{400\,-\,360}}\)
|sin x1 . sin x2| = \(\frac{1}{\sqrt{40}}\) = \(\frac{1}{2\sqrt{10}}\)
Jawaban : B
11. SBMPTN 2017 Saintek 155
Jika x1 dan x2 adalah solusi dari \(\mathrm{2\,cot\,x-2\,tan\,x-4\,sin\,x\cdot cos\,x=0}\) untuk 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\), maka sin2x1 + sin2x2 = ...
(A) \(\frac{1}{2}\)
(B) 1
(C) \(\frac{3}{2}\)
(D) 2
(E) \(\frac{5}{2}\)
Pembahasan :
2cot x - 2tan x - 4sin x . cos x = 0
\(\mathrm{\frac{2\,cos\,x}{sin\,x}}\) - \(\mathrm{\frac{2\,sin\,x}{cos\,x}}\) = 4sin x . cos x
\(\mathrm{\frac{2cos^{2}x\,-\,2sin^{2}x}{sin\,x\cdot cos\,x}}\) = 4sin x . cos x
2cos2x - 2sin2x = 4(sin x . cos x)2
2(cos2x - sin2x) = (2sin x . cos x)2
2cos 2x = (sin 2x)2
2cos 2x = 1 - (cos 2x)2
(cos 2x)2 + 2cos 2x - 1 = 0
Berdasarkan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat, maka :
cos 2x1 + cos 2x2 = \(\frac{-b}{a}\) = \(\frac{-2}{1}\) = -2
cos 2x1 + cos 2x2 = -2
(1 - 2sin2x1) + (1 - 2sin2x2) = -2
2 - 2sin2x1 - 2sin2x2 = -2
4 = 2sin2x1 + 2sin2x2
2 = sin2x1 + sin2x2
Jawaban :D
EmoticonEmoticon