Pembahasan SBMPTN 2017 Vektor

Materi-materi vektor yang digunakan pada pembahasan meliputi, penjumlahan dan pengurangan vektor, menentukan panjang vektor (termasuk di dalamnya panjang dari jumlah atau selisih dua vektor), perkalian skalar dua vektor, sudut antara dua vektor, dan sifat-sifat operasi aljabar pada vektor.


 1.  SBMPTN 2017  Saintek 120
Diberikan vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\). Jika \(\vec{a}\cdot \vec{b}=\left | \vec{a} \right |^{2}\) dan \(|\vec{b} |=2\left | \vec{a} \right |\), maka sudut antara vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) adalah ...
(A)   30°
(B)   45°
(C)   60°
(D)   90°
(E)   120°

Pembahasan :
Misalkan sudut antara vektor a dan b adalah θ, sehingga
a.b = |a| |b| cos θ

Karena a.b = |a|² dan |b| = 2|a|, maka persamaan diatas menjadi
|a|² = |a| 2|a| cos θ
|a|² = 2|a|² cos θ
1 = 2 cos θ
cos θ = 1/2   →  θ = 60°

Jawaban : C



 2.  SBMPTN 2017  Saintek 124
Vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) membentuk sudut α, dengan \(\mathrm{sin\,\alpha =\frac{1}{\sqrt{7}}}\). Jika \(|\vec{a}|=\sqrt{5}\) dan \(\vec{a}\cdot \vec{b}=\sqrt{30}\), maka \(\vec{b}\cdot \vec{b}\) = ...
(A)   5
(B)   6
(C)   7
(D)   8
(E)   9

Pembahasan :
sin α = \(\frac{1}{\sqrt{7}}\)   →   cos α = \(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}\)

Vektor a dan b membentuk sudut α, sehingga berlaku
a.b = |a| |b| cos α
√30 = √5 |b| \(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}\)
√30 = |b| \(\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{7}}\)
⇒  |b| = √7

Jadi, b.b = |b|² = (√7)² = 7.

Jawaban : C



 3.  SBMPTN 2017  Saintek 133
Diketahui \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), dan \(\vec{c}\) vektor-vektor pada bidang datar sehingga \(\vec{a}\) tegak lurus \(\vec{b}\) dan \(\vec{c}\) tegak lurus \(\vec{a}+\vec{b}\). Jika \(|\vec{a}|=3\), \(|\vec{b}|=4\), dan \(\vec{a}\cdot \vec{c}=-24\), maka \(|\vec{c}|=...\)
(A)   6
(B)   8
(C)   10
(D)   12
(E)   16

Pembahasan :
Vektor a tegak lurus vektor b, akibatnya a.b = 0.
|a + b|² = |a|² + |b|² + 2a.b
|a + b|² = 3² + 4² + 2(0)
|a + b|² = 25
|a + b| = 5

Misalkan sudut antara a dan a + b adalah θ, sehingga sin θ = \(\frac{4}{5}\). Perhatikan gambar!

Karena c tegak lurus a + b, maka besar sudut antara a dan c adalah (90 + θ), sehingga berlaku :
a.c = |a| |c| cos (90 + θ)
-24 = 3 |c| (-sin θ)
-24 = 3 |c| (-\(\frac{4}{5}\))
⇒   |c| = 10

Jawaban : C



 4.  SBMPTN 2017  Saintek 134
Vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) membentuk sudut tumpul α, dengan \(\mathrm{sin\,\alpha =\frac{1}{\sqrt{7}}}\). Jika \(|\vec{a}|=\sqrt{5}\) dan \(|\vec{b}|=\sqrt{7}\), maka \(\vec{a}\cdot \vec{b}=...\)
(A)   30
(B)   √30
(C)   -√30
(D)   -20
(E)   -30

Pembahasan :
sin α = \(\frac{1}{\sqrt{7}}\)   →    cos α = \(-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}\)
(cos α bernilai negatif karena α tumpul /kuadran II)

Vektor a dan b membentuk sudut α, sehingga berlaku
a.b = |a| |b| cos α
a.b = √5 √7 (-\(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}\))
a.b = -√30

Jawaban : C



 5.  SBMPTN 2017  Saintek 135
Diketahui \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) vektor-vektor pada bidang datar sehingga \(\vec{a}\) tegak lurus \(\vec{a}+\vec{b}\). Jika \(|\vec{a}|:|\vec{b}|=1:2\) maka besar sudut antara \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) adalah ...
(A)   30°
(B)   45°
(C)   60°
(D)   120°
(E)   150°

Pembahasan :
Karena a tegak lurus a + b, maka besar sudut antara keduanya adalah 90°. Misalkan sudut antara b dan a + b adalah θ dengan |a| = 1 dan |b| = 2 sehingga |a| : |b| = 1 : 2. Perhatikan gambar!

Berdasarkan gambar diatas, maka :
sin θ = \(\frac{1}{2}\)   →   θ = 30°

Jadi, besar sudut antara a dan b adalah
 90° + 30° = 120°

Jawaban : D



 6.  SBMPTN 2017  Saintek 136
Diketahui vektor a, u, v, w adalah vektor di bidang kartesius dengan v = w - u dan sudut antara u dan w adalah 60°. Jika a = 4v dan a.u = 0 maka ...
(A)   ||u|| = 2||v||
(B)   ||v|| = 2||w||
(C)   ||v|| = 2||u||
(D)   ||w|| = 2||v||
(E)   ||w|| = 2||u||

Pembahasan :
Karena v = w - u dan sudut antara vektor u dan w adalah 60°, maka berlaku :
|v|² =  |w|² + |u|² - 2|w| |u| cos 60°
|v|² =  |w|² + |u|² - 2|w| |u| \(\frac{1}{2}\)
|v|² =  |w|² + |u|² - |w| |u|
|w| |u| = |w|² + |u|² - |v|²   .............................(1)

Diketahui a = 4v dan a.u = 0, akibatnya
(4v).u = 0   ⇔   u.v = 0

Karena v = w - u maka w = u + v sehingga berlaku :
|w|² =  |u|² + |v|² + 2u.v
|w|² =  |u|² + |v|² + 2(0)
|w|² =  |u|² + |v|²   ........................................(2)

Substitusi persamaan (2) ke (1) diperoleh :
|w| |u| = (|u|² + |v|²) + |u|² - |v|²
|u| |w| = 2|u|²
|w| = 2|u|

Jawaban : E



 7.  SBMPTN 2017  Saintek 138
Diketahui vektor \(\vec{a}\) = (4, 6), \(\vec{b}\) = (3, 4), dan \(\vec{c}\) = (p, 0). Jika \(|\vec{c}\,-\,\vec{a}|=10\), maka kosinus sudut antara \(\vec{b}\) dan \(\vec{c}\) adalah ...
(A)   \(\frac{2}{5}\)
(B)   \(\frac{1}{2}\)
(C)   \(\frac{3}{5}\)
(D)   \(\frac{2}{3}\)
(E)   \(\frac{3}{4}\)


Pembahasan :
a = (4, 6)   →   |a| = \(\sqrt{4^{2}\,+\,6^{2}}\) = \(\sqrt{52}\)
b = (3, 4)   →   |b| = \(\sqrt{3^{2}\,+\,4^{2}}\) = 5
c = (p, 0)   →   |c| = \(\sqrt{\mathrm{p}^{2}\,+\,0^{2}}\) = p
a.c = 4.p + 6.0 = 4p

Diketahui |c - a| = 10
|c - a|² = |c|² + |a|² - 2a.c
10² = (p)² + (√52)² - 2(4p)
100 = p² - 8p + 52
p² - 8p - 48 = 0
(p - 12)(p + 4) = 0
p = 12  atau  p = -4

Untuk p = 12 diperoleh
c = (12, 0)   →   |c| = \(\sqrt{\mathrm{12}^{2}\,+\,0^{2}}\) = 12
b.c = 3.12 + 4.0 = 36

Misalkan sudut antara b dan c adalah θ.
b.c = |b| |c| cos θ
36 = 5 . 12 cos θ
⇒ cos θ = \(\frac{3}{5}\)

Jawaban : C



 8.  SBMPTN 2017  Saintek 139
Vektor \(\vec{a}\), \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) adalah vektor-vektor di bidang kartesius dengan \(\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}\) dan sudut antara \(\vec{u}\) dan \(\vec{a}\) adalah 45°. Jika \(\sqrt{2}\,\vec{a}=\vec{w}\), maka \(\vec{u}\cdot \vec{v}=...\)
(A)   \(|\vec{a}|\)(\(|\vec{a}|\,-\,|\vec{u}|\))
(B)   \(|\vec{a}|\)(\(|\vec{v}|\,-\,|\vec{u}|\))
(C)   \(|\vec{a}|\)(\(|\vec{a}|\,-\,|\vec{w}|\))
(D)   \(|\vec{u}|\)(\(|\vec{a}|\,-\,|\vec{u}|\))
(E)   \(|\vec{v}|\)(\(|\vec{a}|\,-\,|\vec{u}|\))

Pembahasan :
Karena w = u + v dan √2 a = w maka √2 a = u + v.
(√2 a)(√2 a) = (u + v)(u + v)
2a.a = u.u + v.v + 2u.v         
2|a|² = |u|² + |v|² + 2u.v   .........................(1)

Karena √2 a = u + v maka v = √2 a - u.
v.v = (√2 a - u)(√2 a - u)        
v.v = 2a.a + u.u - 2√2u.a
|v|² = 2|a|² + |u|² - 2√2u.a

Karena sudut antara u dan a adalah 45°, maka berlaku u.a = |u| |a| cos 45°, sehingga persamaan diatas menajdi :
|v|² = 2|a|² + |u|² - 2√2 |u| |a| cos 45°
|v|² = 2|a|² + |u|² - 2√2 . \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) |u| |a|
|v|² = 2|a|² + |u|² - 2|u| |a|   ...................................(2)

Substitusi persamaan (2) ke (1) diperoleh :
2|a|² = |u|² + 2|a|² + |u|² - 2|u| |a| + 2u.v
2|a|² = 2|a|² + 2|u|² - 2|u| |a| + 2u.v

2|u| |a| - 2|u|² = 2u.v  

|u| |a| - |u|² = u.v
|u| (|a| - |u|) = u.v

Jawaban : D



 9.  SBMPTN 2017  Saintek 140
Diketahui tiga vektor \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) dan \(\vec{c}\) dengan \(|\vec{b}|=3\), \(|\vec{c}|=4\), dan \(\vec{a}=\vec{c}-\vec{b}\). Jika γ adalah sudut antara vektor \(\vec{b}\) dan \(\vec{c}\), dengan \(\vec{a}\cdot \vec{c}=25\), maka sin γ = ...
(A)   \(\frac{1}{4}\)
(B)   \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
(C)   \(\frac{1}{2}\)
(D)   \(\frac{\sqrt{7}}{6}\)
(E)   \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)

Pembahasan :
Karena a = c - b dan sudut antara vektor b dan c adalah γ, maka berlaku :
|a|² = |c|² + |b|² - 2|b| |c| cos γ
|a|² = (4)² + (3)² - 2(3)(4)cos γ
|a|² = 25 - 24cos γ   ...........................(1)

Karena a = c - b maka b = c - a, sehingga berlaku :
|b|² = |c|² + |a|² - 2a.c
3² = 4² + |a|² - 2(25)
⇒ |a|² = 43   ......................................(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh :
43 = 25 - 24cos γ
24cos γ = -18
cos γ = -\(\frac{3}{4}\)   →   sin γ = \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)

Jawaban : E



 10.  SBMPTN 2017  Saintek 145
Diketahui vektor-vektor \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) dan \(\vec{c}\) dengan \(\vec{b}=(-2,\,1)\), \(\vec{b}\perp \vec{c}\), dan \(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=0\). Jika luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) dan \(\vec{c}\) adalah √5, maka panjang vektor \(\vec{a}\) adalah ...
(A)   √2
(B)   2
(C)   √3
(D)   √6
(E)   3

Pembahasan :
b = (-2, 1)   →   |b| = \(\sqrt{(-2)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{5}\)
b ⊥ c   →   b.c = 0
Karena a - b + c = 0 maka a = b - c, sehingga berlaku
|a|² = |b|² + |c|² - 2b.c
|a|² = (√5)² + |c|² - 2(0)

|a|² = 5 + |c|²   ........................(1)

Perhatikan gambar berikut!

Diketahui luas segitiga ABC adalah √5 dan dari gambar dapat kita lihat luas segitiga ABC adalah setengah dari luas jajar genjang OABC, sehingga :
Luas Δ ABC = \(\frac{1}{2}\)× OC × OB
√5 = \(\frac{1}{2}\)× OC . √5
OC = 2

Substitusikan OC = |c| = 2 ke persamaan (1) :
|a|² = 5 + 2²
|a|² = 9
|a| = 3

Jawaban : E



 11.  SBMPTN 2017  Saintek 146
Diketahui vektor-vektor \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) dan \(\vec{c}\) dengan \(\vec{b}=(-2,\,1)\),  \(\vec{b}\perp \vec{c}\), dan \(\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=0\). Jika \(|\vec{a}|=5\) dan sudut antara \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) adalah α, maka luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) dan \(\vec{c}\) adalah ...
(A)   5√5
(B)   \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
(C)   \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
(D)   5
(E)   10

Pembahasan :
b = (-2, 1)   →   |b| = \(\sqrt{(-2)^{2}+(1)^{2}}=\sqrt{5}\)
b ⊥ c   →   b.c = 0
Karena a - b - c = 0 maka a = b + c, sehingga berlaku
|a|² = |b|² + |c|² + 2b.c
5² = (√5)² + |c|² - 2(0)

|c|² = 20   →   |c| = √20

Perhatikan gambar berikut!

Perhatikan bahwa luas segitiga ABC adalah setengah dari luas persegi panjang ABOC, sehingga
Luas Δ ABC = \(\frac{1}{2}\)× OB × OC
Luas Δ ABC = \(\frac{1}{2}\)× \(\sqrt{5}\cdot \sqrt{20}\)
Luas Δ ABC = 5

Jawaban : D

 12.  SBMPTN 2017  Saintek 147
Diketahui tiga vektor \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) dan \(\vec{c}\) dengan \(\vec{b}\cdot \vec{c}=9 \), dan \(\vec{c}=\vec{b}+\vec{a}\). Misalkan γ adalah sudut antara vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{c}\). Jika γ = 30° dan \(|\vec{c}|=6\), maka \(|\vec{a}|=...\)
(A)   \(\frac{1}{4}\)
(B)   \(\frac{1}{3}\)
(C)   \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
(D)   \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
(E)   3√3

Pembahasan :
c = b + a   →   b = c - a
c = b + a   →   a = c - b

Karena a = c - b, maka berlaku

|a|² = |c|² + |b|² - 2b.c 

|a|² = (6)² + |b|² - 2(9)
|a|² = |b|² + 18   ....................................................(1)

Karena b = c - a dan sudut antara vektor a dan c adalah 30°, maka berlaku :
|b|² = |c|² + |a|² - 2 |a| |c| cos 30°
|b|² = (6)² + |a|² - 2 |a| 6 . \(\frac{1}{2}\)√3
|b|² = 36 + |a|² - 6√3 |a|    ......................................(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh :
|b|² = 36 + |b|² + 18 - 6√3 |a|
6√3 |a| = 54
⇒ |a| = 3√3

Jawaban : E



 13.  SBMPTN 2017  Saintek 148
Diketahui tiga vektor \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) dan \(\vec{c}\) dengan \(|\vec{b}|=8\), \(|\vec{c}|=3\), dan \(\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}\). Misalkan α adalah sudut antara \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\), serta γ adalah sudut antara vektor \(\vec{b}\) dan \(\vec{c}\). Jika \(|\vec{a}|=7\) dan γ = 120°, maka sin α = ...
(A)   \(\frac{1}{5}\)
(B)   \(\frac{\sqrt{7}}{5}\)
(C)   \(\frac{3\sqrt{3}}{14}\)
(D)   \(\frac{3}{4}\)
(E)   \(\frac{4}{5}\)

Pembahasan :
Diketahui c = a - b  dan sudut antara a dan b  adalah α, sehingga berlaku :
|c|² = |a|² + |b|² - 2 |a| |b| cos α
(3)² = (7)² + (8)² - 2(7)(8) cos α
⇒ cos α = \(\frac{13}{14}\)

Berdasarkan identitas phythagoras :
sin α = \(\sqrt{1-\mathrm{cos}^{2}\alpha }\) = \(\sqrt{1-\left ( \frac{13}{14} \right )^{2}}\) = \(\frac{3\sqrt{3}}{14}\)

Jawaban : C



 14.  SBMPTN 2017  Saintek 151
Diketahui tiga vektor \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) dan \(\vec{c}\) dengan \(\vec{a}\cdot \vec{c}=-9 \), \(\vec{b}\cdot \vec{c}=0\) dan \(\vec{c}=\vec{b}-\vec{a}\). Misalkan α adalah sudut antara \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\). Jika \(|\vec{a}|=6\), \(|\vec{c}|=3\), maka sin α = ...
(A)   \(\frac{1}{4}\)
(B)   \(\frac{1}{2}\)
(C)   \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(D)   \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
(E)   \(\frac{3}{4}\)

Pembahasan :
Karena c = b - a maka b = a + c sehingga berlaku
|b|² = |a|² + |c|² + 2a.c
|b|² = (6)² + (3)² + 2(-9)
|b|² = 27
|b| = √27 = 3√3

Karena c = b - a dan sudut antara a dan b adalah α, maka berlaku :
|c|² = |b|² + |a|² - 2 |b| |a| cos α
(3)² = (3√3)² + (6)² - 2(3√3)(6) cos α
⇒ cos α = \(\frac{1}{2}\)√3

Karena cos α = \(\frac{1}{2}\)√3 maka sin α = \(\frac{1}{2}\).

Jawaban : B