Turunan Fungsi Trigonometri

Rumus Dasar

1.  f(x) = sin x  →  f '(x) = cos x
2.  f(x) = cos x  →  f '(x) = −sin x
3.  f(x) = tan x  →  f '(x) = sec² x
4.  f(x) = cot x  →  f '(x) = −csc² x
5.  f(x) = sec x  →  f '(x) = sec x . tan x
6.  f(x) = csc x  →  f '(x) = −csc x . cot x

Tips
Setiap fungsi trigonometri yang dimulai dengan huruf c, maka turunannya akan bernilai negatif.

Perluasan Rumus

Jika u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x dengan u' adalah turunan u terhadap x, maka :
1.  f(x) = sin u  →  f '(x) = cos u . u'
2.  f(x) = cos u  →  f '(x) = −sin u . u'
3.  f(x) = tan u  →  f '(x) = sec²u . u'
4.  f(x) = cot u  →  f '(x) = −csc² u . u'
5.  f(x) = sec u  →  f '(x) = sec u tan u . u'
6.  f(x) = csc u  →  f '(x) = −csc u cot u . u'

Contoh 1

Tentukan turunan dari y = sin 4x !
     Penyelesaian :
     Misalkan :
     u = 4x   ⇒   u' = 4

     y' = cos u . u'
     y' = cos 4x . 4
     y' = 4cos 4x


Contoh 2

Tentukan turunan dari y = cos x²

     Penyelesaian :
     Misalkan :
     u = x²   ⇒   u' = 2x

     y' = −sin u . u'
     y' = −sin x²  . 2x
     y' = −2x sin x²


Contoh 3
Tentukan turunan dari y = tan (2x+1)
     Penyelesaian :
     Misalkan :
     u = 2x + 1   ⇒   u' = 2

     y' = sec²u . u'
     y' = sec²(2x+1) . 2
     y' = 2sec²(2x+1)


Contoh 4
Tentukan turunan dari y = sec \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x
     Penyelesaian :
     Misalkan :
     u = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x   ⇒   u' = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)

     y' = sec u tan u . u'
     y' = sec \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x tan \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x . \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)
     y' = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)sec \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x tan \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x

Turunan y = [u(x)]ⁿ

Misalkan y = [u(x)]ⁿ dengan u(x) adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x. Turunan y terhadap x dapat dinyatakan sebagai berikut :
$$\mathrm{y'=n\left [ u(x) \right ]^{n-1}.u'(x)}$$

Contoh 5
Tentukan turunan dari y = cos⁵7x
     Penyelesaian :
     y = [cos 7x]⁵

     Misalkan :
     u(x) = cos 7x   ⇒   u'(x) = −7sin 7x
     n = 5

     y' = n[u(x)]^n-1. u'(x)
     y' = 5[cos 7x]^5-1. −7sin 7x
     y' = −35 cos⁴7x . sin 7x


Contoh 6
Tentukan turunan dari y = sin⁷(4x−3)
     Penyelesaian :
     y = [sin (4x−3)]⁷

     Misalkan :
     u(x) = sin (4x−3)   ⇒    u'(x) = 4cos (4x−3)
     n = 7

     y' = n[u(x)]^n-1. u'(x)
     y' = 7[sin (4x−3)]^7-1 . 4cos (4x−3)
     y' = 28 sin⁶(4x−3) cos (4x−3)

Catatan
Hasil akhir masih bisa diubah-ubah bentuknya menyesuaikan jawaban yang diminta dari soal, yaitu dengan menggunakan sifat-sifat atau identitas dari trigonometri.

Latihan Soal Turunan Fungsi Trigonometri

Latihan 1
Tentukan turunan dari y = sin x²

     Jawab :  
     y' = cos x² . 2x

y     ' = 2x cos x²

Latihan 2

Tentukan turunan dari y = cos (3x+1)
     Jawab :
     y' = −sin (3x+1) . 3
     y' = −3sin (3x+1)


Latihan 3
Tentukan turunan dari f(x) = tan \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x
     Jawab :
     f '(x) = sec²\(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x . \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)
     f '(x) = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)sec²\(\mathrm{\frac{1}{2}}\)x


Latihan 4
Tentukan turunan y = sin (x²+3x−1)
     Jawab :
     y' = cos (x²+3x−1) . (2x+3)
     y' = (2x+3) cos(x²+3x−1)


Latihan 5
Tentukan turunan dari y = sec 2x
     Jawab :
     y' = sec 2x tan 2x . 2
     y' = 2sec 2x tan 2x


Latihan 6
Tentukan turunan dari y = cos (2x+1)⁴
     Jawab :
     y' = −sin (2x+1)⁴ . 4(2x+1)^4-1 . 2
     y' = −8(2x+1)³  sin(2x+1)⁴


Latihan 7
Tentukan turunan dari y = tan⁵3x
     Jawab :
     y' = 5tan⁴3x . sec²3x . 3
     y' = 15 tan⁴3x sec²3x


Latihan 8
Tentukan turunan dari y = cos⁴(5x+2)
     Jawab :
     y' = 4cos³(5x+2) . −sin (5x+2) . 5
     y' = −20 cos³(5x+2) sin(5x+2)


Latihan 9
Tentukan turunan y = sin⁶(x²+3x)
     Jawab :
     y' = 6 sin⁵(x²+3x) . cos(x²+3x). (2x + 3)
     y' = 6(2x + 3) sin⁵(x²+3x) . cos(x²+3x)


Latihan 10
Tentukan f '(x) dari :
a.  f(x) = 3sin 2x + 4cos x
a.  Jawab :
a.  f '(x) = 3cos 2x . 2 + 4 . −sin x
a.  f '(x) = 6cos 2x − 4sin x

b.  f(x) = tan 2x − csc x
b.  Jawab :
b.  f '(x) = sec²2x . 2 − (−csc x ctg x)
b.  f '(x) = 2sec²2x + csc x ctg x

c.  f(x) = sec 4x + tan (x+1)
c.  Jawab :
c.  f '(x) = sec 4x tan 4x . 4 + sec²(x+1) . 1
c.  f '(x) = 4sec 4x tan 4x + sec²(x + 1)


Latihan 11
Tentukan turunan dari y = x² cos 2x
     Jawab :
     Misalkan :
     u = x²  ⇒  u' = 2x
     v = cos 2x ⇒ v' = −2 sin 2x

     y' = u'.v + u.v'
     y' = 2x . cos 2x + x² . −2 sin 2x
     y' = 2x cos 2x − 2x² sin 2x
     y' = 2x(cos 2x − x sin 2x)


Latihan 12
Tentukan turunan dari f(x) = (1 + sin²x)⁷

     Jawab :
     u(x) = (1 + sin²x)  ⇒  u'(x) = 2sin x cos x
     n = 7

     f '(x) = 7(1 + sin²x)^7-1 . 2sin x cos x
     f '(x) = 7 (1 + sin²x)⁶ . sin 2x
     f '(x) = 7sin 2x  (1 + sin²x)⁶