Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu bentuk persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah dua. Persamaan kuadrat dengan variabel x dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut : $$\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}$$ dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0

Penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat disebut akar-akar persamaan kuadrat, yaitu nilai-nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut atau dengan kata lain, nilai-nilai x yang menyebabkan persamaan kuadrat tersebut bernilai benar.

Sebagai contoh, akar-akar dari persamaan kuadrat  x² - 4x + 3 = 0 adalah 1 atau 3, karena
(1)² - 4(1) + 3 = 0    (benar)
(3)² - 4(3) + 3 = 0    (benar)

Yang menjadi pertanyaan adalah bagaimana mendapatkan akar-akar tersebut? Hal inilah yang akan kita bahas pada materi ini.

Secara umum ada 3 cara yang digunakan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu :

1. Memfaktorkan
2. Melengkapkan kuadrat
3. Rumus kuadrat

Memfaktorkan

Faktor dari $\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}$ dengan a = 1 dapat dinyatakan dalam bentuk : $$\mathrm{\left ( x+p  \right )\left ( x+q  \right )=0}$$ Nilai p dan q diperoleh dengan ketentuan :

    p + q = b
    p × q = c

Setelah difaktorkan, langkah selanjutnya adalah menyatakan faktor tersebut menjadi sama dengan nol $$\mathrm{x + p = 0\; atau\; x + q = 0}$$ Nilai-nilai x yang diperoleh dari persamaan diatas inilah yang kita sebut dengan akar-akar persamaan kuadrat.

Contoh 1
Tentukan akar-akar dari x² + 5x + 6 = 0

Jawab :
a = 1 ; b = 5 ; c = 6

p + q = 5
p × q = 6

Artinya, kita akan mencari dua buah bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 6 dan jika dijumlahkan menghasilkan 5.

Nilai p dan q yang memenuhi adalah 3 dan 2, karena 3 × 2 = 6 dan 3 + 2 = 5

Dengan demikian, faktornya adalah
(x + 3)(x + 2) = 0

dengan akar-akarnya
x + 3 = 0 atau x + 2 = 0
x = -3 atau x = -2


Contoh 2
Tentukan akar-akar dari x² + 2x − 3 = 0

Jawab :
p + q = 2
p × q = -3

Nilai p dan q yang memenuhi adalah 3 dan −1.  Dengan demikian, faktornya adalah
(x + 3)(x − 1) = 0

dengan akar-akarnya
x + 3 = 0 atau x − 1 = 0
x  = -3 atau x = 1

Jika contoh-contoh diatas telah dipahami dan dikuasai dengan baik, penyelesaian dari persamaan kuadrat dapat kita tulis lebih singkat seperti contoh berikut.

Contoh 3
Tentukan akar-akar dari x² − 8x + 15 = 0

Jawab :
x² − 8x + 15 = 0
(x − 3)(x − 5) = 0  (faktor)
x = 3 atau x = 5     (akar)


Faktor dari $\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}$ dengan a > 1 dapat dinyatakan dalam bentuk : $$\mathrm{\frac{\left ( ax+p  \right )\left ( ax+q  \right )}{a}=0}$$  Nilai p dan q diperoleh dengan ketentuan :
    p + q = b
    p × q = ac

Contoh 4
Tentukan akar-akar dari 2x² + 5x − 3 = 0

Jawab :
a = 2 ; b = 5 ; c = −3

p + q = 5
p × q = 2 (−3) = −6

Nilai p dan q yang memenuhi adalah 6 dan −1. Dengan demikian, faktornya adalah  $$\mathrm{\frac{\left ( {\color{Green} 2}x+6 \right )\left ( {\color{Green} 2}x -1  \right )}{{\color{Green} 2}}=0}$$ $$\mathrm{\frac{2(x+3)\,(2x-1)}{2}=0}$$ $$\mathrm{(x+3)(2x-1)=0}$$

dengan akar-akarnya $$\mathrm{x +3 = 0\; atau\; 2x − 1 = 0}$$ $$\mathrm{x = −3\; atau\; x = \frac{1}{2}}$$

Contoh 5
Tentukan akar-akar dari 6x² − x − 2 = 0

Jawab :
p + q = −1
p × q = −12
Nilai p dan q yang memenuhi adalah 3 dan −4.

Faktornya adalah  $$\mathrm{\frac{\left ( {\color{Green} 6}x+3  \right )\left ( {\color{Green} 6}x-4  \right )}{{\color{Green} 6}}=0}$$ $$\mathrm{\frac{3(2x+1)\,2(3x-2)}{6}=0}$$ $$\mathrm{\left ( 2x+1  \right )\left ( 3x-2  \right )=0}$$
Akar-akarnya adalah $$\mathrm{2x+1=0\;atau\;3x-2=0}$$ $$\mathrm{x=-\frac{1}{2}\;atau\;x=\frac{2}{3}}$$

Melengkapkan Kuadrat

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat merupakan salah satu alternatif jika akar-akar persamaan kuadrat memuat bentuk akar (irasional) sehingga sulit untuk difaktorkan.

Melengkapkan kuadrat dilakukan dengan cara mengubah salah satu ruas menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)².

Bentuk diatas dapat dijabarkan menjadi
     (x + p)² = x² + 2px + p²

dengan a = 1 , b = 2p dan c = p²

Karena b = 2p, maka p = $\mathrm{\frac{b} {2}}$. Akibatnya, persamaan diatas dapat kita tulis menjadi

     (x + $\mathrm{\frac{b} {2}}$)² = x² + bx + ($\mathrm{\frac{b} {2}}$)²     (*)

Persamaan inilah yang nantinya kita jadikan acuan dalam mengubah bentuk persamaan kuadrat ke dalam bentuk kuadrat sempurna.

Untuk lebih jelasnya, simak contoh-contoh berikut!

Contoh 6
Tentukan akar-akar dari x² + 4x + 1 = 0

Penyelesaian :
Pindahkan konstanta c ke ruas kanan
x² + 4x  = −1

Tambahkan kedua ruas dengan ($\mathrm{\frac{b} {2}}$)² 
x² + 4x + ($\mathrm{\frac{4}{2}}$)²  = −1 + ($\mathrm{\frac{4}{2}}$)²
x² + 4x + 4 = 3

Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna dengan mengacu pada (*) sehingga diperoleh
(x + 2)² = 3

Akarkan kedua ruas sehingga diperoleh
x + 2 =  ±√3
x = -2 ±√3

Jadi, akar-akarnya adalah
x = −2 + √3 atau x = −2 − √3


Apabila a ≠ 1, langkah awal yang harus dilakukan adalah membagi atau mengalikan kedua ruas dengan suatu bilangan sehingga diperoleh a = 1.

Contoh 7
Tentukan akar-akar dari 4x² + 4x − 7 = 0

Penyelesaian :
Bagi kedua ruas dengan 4
x² + x − $\frac{7}{4}$ = 0

Pada tahap ini, langkah-langkahnya sama dengan contoh sebelumnya.
x² + x = $\frac{7}{4}$

x² + x + ($\frac{1}{2}$)² = $\frac{7}{4}$ + ($\frac{1}{2}$)²

x² + x + $\frac{1}{4}$ = 2

(x + $\frac{1}{2}$)² = 2

x + $\frac{1}{2}$ = ±√2
x = −$\frac{1}{2}$ ±√2

Jadi, akar-akarnya adalah
x = −$\mathbf{\frac{1}{2}}$ + √2 atau x  = −$\mathbf{\frac{1}{2}}$ − √2


Contoh 8
Tentukan akar-akar dari $-\frac{1}{2}$x² + x + 1 = 0

Penyelesaian :
Kalikan kedua ruas dengan -2
x² − 2x − 2 = 0

x² − 2x = 2
x² − 2x + ($\frac{-2}{2}$)² = 2 + ($\frac{-2}{2}$)²
x² − 2x + 1 = 3

(x − 1)² = 3

x − 1 = ±√3
x = 1 ±√3

Jadi, akar-akarnya adalah

x = 1 + √3 atau x = 1 − √3

Rumus Kuadrat

Sama halnya dengan melengkapkan kuadrat, rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc ini juga dapat menjadi alternatif dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat dimana akar-akarnya memuat bentuk akar (irasional). Atau untuk persamaan kuadrat yang sebenarnya bisa difaktorkan, tetapi sulit untuk difaktorkan karena memuat nilai-nilai a, b, c yang cukup besar.

Dengan mengubah bentuk $\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}$ ke dalam bentuk kuadrat sempurna akan diperoleh rumus kuadrat sebagai berikut : $$\mathrm{x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}}$$

Contoh 9

Tentukan akar-akar dari x² + 4x + 1 = 0
    Jawab :
    a = 1
    b = 4
    c = 1

    x_1,2 = $\mathrm{\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4.1.1} }{2.1}}$
    x_1,2 = $\mathrm{\frac{-4\pm\sqrt{12} }{2}}$
    x_1,2 = $\mathrm{\frac{-4\pm2\sqrt{3} }{2}}$

    x_1,2 = $\mathrm{-2\pm\sqrt{3}}$

    x₁ = $\mathrm{-2+\sqrt{3}}$
    x₂ = $\mathrm{-2-\sqrt{3}}$


Contoh 10
Tentukan akar-akar dari x² − 5x − 104 = 0
    Jawab :
    a = 1
    b = −5
    c = −104

    x_1,2 = $\mathrm{\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^{2}-4.1.(-104)} }{2.1}}$
    x_1,2 = $\mathrm{\frac{5\pm\sqrt{441} }{2}}$
    x_1,2 = $\mathrm{\frac{5\pm21 }{2}}$

    x₁ = $\mathrm{\frac{5+21 }{2}}$ = 13
    x₂ = $\mathrm{\frac{5-21 }{2}}$ = −8


Materi menentukan akar-akar persamaan kuadrat dapat ditemukan pada hampir semua materi matematika SMA, terutama metode pemfaktoran. Untuk itu sangat direkomendasikan untuk dipahami dan dikuasai dengan baik.