Pada materi sebelumnya yaitu, integral substitusi telah disebutkan bahwa jika suatu fungsi tidak dapat diintegralkan dengan rumus-rumus dasar integral, maka solusinya adalah dengan menggunakan metode substitusi.
Teknik atau metode integral parsial biasanya digunakan ketika suatu fungsi tidak dapat diintegralkan dengan metode substitusi, walaupun sebenarnya teknik ini juga dapat menjadi alternatif jika fungsi tidak dapat diintegralkan dengan rumus-rumus dasar integral.
Adapun fungsi-fungsi yang dimaksud adalah fungsi-fungsi yang melibatkan perkalian dari fungsi logaritma, invers, polinom, eksponensial dan trigonometri. Untuk jenjang pendidikan SMAtika, biasanya hanya dibatasi pada perkalian fungsi polinom dan trigonometri.
Rumus integral parsial :
$$\mathrm{\int u\;dv=u\,v-\int v\:du}$$
Untuk memahami cara pengintegralan dengan metode parsial, simaklah contoh-contoh berikut.
Contoh 1
∫ x sin x dx = ...
Penyelesaian :
Langkah awal yang harus dilakukan adalah membagi integran menjadi 2 bagian, yaitu u dan sisanya termasuk dx sebagai dv. Untuk integran yang memuat perkalian fungsi polinom dan trigonometri, pilihlah fungsi polinom sebagai u dan fungsi trigonometri termasuk dx sebagai dv.
Jadi, pilih :
u = x
dv = sin x dx
Langkah selanjutnya adalah menentukan du dan v :
$$\mathrm{\int u\;dv=u\,v-\int v\:du}$$
∫ x sin x dx = x (−cos x) − ∫ (−cos x) dx
∫ x sin x dx = −x cos x + ∫ cos x dx
∫ x sin x dx = −x cos x + sin x + C
Contoh 2
∫ x2 cos 2x dx = ...
Penyelesaian :
Pilih :
u = x2 ⇒ du = 2x dx
dv = cos 2x dx ⇒ v = \(\frac{1}{2}\)sin 2x
Substitusi ke rumus integral parsial :
$$\mathrm{\int u\;dv=u\,v-\int v\:du}$$
∫ x2 cos 2x dx
= x2 . \(\frac{1}{2}\)sin 2x − ∫ \(\frac{1}{2}\)sin 2x . 2x dx
= \(\frac{1}{2}\)x2 sin 2x − ∫ x sin 2x dx ...........(1)
Untuk ∫ x sin 2x dx, pilih :
u = x ⇒ du = dx
dv = sin 2x dx ⇒ v = \(-\frac{1}{2}\)cos 2x
∫ x sin 2x dx
= x . \(-\frac{1}{2}\)cos 2x − ∫ \(-\frac{1}{2}\)cos 2x dx
= \(-\frac{1}{2}\)x cos 2x + \(\frac{1}{2}\)∫ cos 2x dx
= \(-\frac{1}{2}\)x cos 2x + \(\frac{1}{2}\). \(\frac{1}{2}\)sin 2x
= \(-\frac{1}{2}\)x cos 2x + \(\frac{1}{4}\)sin 2x ..........(2)
Dengan mensubstitusi (2) ke (1) diperoleh :
∫ x2 cos 2x dx
= \(\frac{1}{2}\)x2 sin 2x − (\(-\frac{1}{2}\)x cos 2x + \(\frac{1}{4}\)sin 2x)
= \(\frac{1}{2}\)x2 sin 2x + \(\frac{1}{2}\)x cos 2x − \(\frac{1}{4}\)sin 2x + C
Selain dengan menggunakan rumus integral parsial, bentuk integral diatas dapat pula diselesaikan dengan cara berikut ;
∫ x2 cos 2x dx = ...
Misalkan :
u = x2
dv = cos 2x dx
∫ x2 cos 2x dx
= +x2 \(\frac{1}{2}\)sin 2x − 2x(\(-\frac{1}{4}\)cos 2x) + 2(\(-\frac{1}{8}\)sin 2x)
= \(\frac{1}{2}\)x2 sin 2x + \(\frac{1}{2}\)x cos 2x − \(\frac{1}{4}\)sin 2x + C
Teknik atau metode integral parsial biasanya digunakan ketika suatu fungsi tidak dapat diintegralkan dengan metode substitusi, walaupun sebenarnya teknik ini juga dapat menjadi alternatif jika fungsi tidak dapat diintegralkan dengan rumus-rumus dasar integral.
Adapun fungsi-fungsi yang dimaksud adalah fungsi-fungsi yang melibatkan perkalian dari fungsi logaritma, invers, polinom, eksponensial dan trigonometri. Untuk jenjang pendidikan SMA
Rumus integral parsial :
$$\mathrm{\int u\;dv=u\,v-\int v\:du}$$
Untuk memahami cara pengintegralan dengan metode parsial, simaklah contoh-contoh berikut.
Contoh 1
∫ x sin x dx = ...
Penyelesaian :
Langkah awal yang harus dilakukan adalah membagi integran menjadi 2 bagian, yaitu u dan sisanya termasuk dx sebagai dv. Untuk integran yang memuat perkalian fungsi polinom dan trigonometri, pilihlah fungsi polinom sebagai u dan fungsi trigonometri termasuk dx sebagai dv.
Jadi, pilih :
u = x
dv = sin x dx
Langkah selanjutnya adalah menentukan du dan v :
- du diperoleh dari turunan u terhadap x $$\mathrm{{\color{Red} u=x}\Rightarrow {\color{Red} du=dx}}$$
- v diperoleh dari integral dv
$$\mathrm{\int u\;dv=u\,v-\int v\:du}$$
∫ x sin x dx = x (−cos x) − ∫ (−cos x) dx
∫ x sin x dx = −x cos x + ∫ cos x dx
∫ x sin x dx = −x cos x + sin x + C
Contoh 2
∫ x2 cos 2x dx = ...
Penyelesaian :
Pilih :
u = x2 ⇒ du = 2x dx
dv = cos 2x dx ⇒ v = \(\frac{1}{2}\)sin 2x
Substitusi ke rumus integral parsial :
$$\mathrm{\int u\;dv=u\,v-\int v\:du}$$
∫ x2 cos 2x dx
= x2 . \(\frac{1}{2}\)sin 2x − ∫ \(\frac{1}{2}\)sin 2x . 2x dx
= \(\frac{1}{2}\)x2 sin 2x − ∫ x sin 2x dx ...........(1)
Untuk ∫ x sin 2x dx, pilih :
u = x ⇒ du = dx
dv = sin 2x dx ⇒ v = \(-\frac{1}{2}\)cos 2x
∫ x sin 2x dx
= x . \(-\frac{1}{2}\)cos 2x − ∫ \(-\frac{1}{2}\)cos 2x dx
= \(-\frac{1}{2}\)x cos 2x + \(\frac{1}{2}\)∫ cos 2x dx
= \(-\frac{1}{2}\)x cos 2x + \(\frac{1}{2}\). \(\frac{1}{2}\)sin 2x
= \(-\frac{1}{2}\)x cos 2x + \(\frac{1}{4}\)sin 2x ..........(2)
Dengan mensubstitusi (2) ke (1) diperoleh :
∫ x2 cos 2x dx
= \(\frac{1}{2}\)x2 sin 2x − (\(-\frac{1}{2}\)x cos 2x + \(\frac{1}{4}\)sin 2x)
= \(\frac{1}{2}\)x2 sin 2x + \(\frac{1}{2}\)x cos 2x − \(\frac{1}{4}\)sin 2x + C
Selain dengan menggunakan rumus integral parsial, bentuk integral diatas dapat pula diselesaikan dengan cara berikut ;
- Turunkan u sampai menghasilkan nol dan integralkan dv.
- Beri tanda (+) dan (−) secara berselang-seling (mulai dari positif) untuk setiap fungsi yang diturunkan.
- Kalikan fungsi yang diturunkan dengan fungsi yang diintegralkan secara diagonal.
∫ x2 cos 2x dx = ...
Misalkan :
u = x2
dv = cos 2x dx
∫ x2 cos 2x dx
= +x2 \(\frac{1}{2}\)sin 2x − 2x(\(-\frac{1}{4}\)cos 2x) + 2(\(-\frac{1}{8}\)sin 2x)
= \(\frac{1}{2}\)x2 sin 2x + \(\frac{1}{2}\)x cos 2x − \(\frac{1}{4}\)sin 2x + C
EmoticonEmoticon