Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung suatu lingkaran dapat ditentukan dengan berbagai cara, tergantung informasi-informasi apa yang kita ketahui dari garis singgung tersebut.

Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Suatu Titik

Untuk sub bab ini akan dibagi menjadi 2, yaitu persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik pada lingkaran dan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran.

PGSL Melalui Titik pada Lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}\) yang melalui titik (x₁, y₁) adalah $$\mathrm{\mathbf{\left ( x_{1}-a \right )\left ( x-a \right )+\left ( y_{1}-b \right )\left ( y-b \right )=r^{2}}}$$ dengan
(a, b) = pusat lingkaran
r = radius atau jari-jari lingkaran
(x₁, y₁) = titik singgung lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}=r^{2}}\) yang melalui titik (x₁, y₁) adalah $$\mathrm{\mathbf{x_{1}x+y_{1}y=r^{2}}}$$ dengan
r = radius atau jari-jari lingkaran
(x₁, y₁) = titik singgung lingkaran

Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}=25}\) yang melalui titik (3, 4)

Jawab :
Dari soal diketahui
P(0, 0)
r² = 25
(x₁, y₁) = (3, 4)

Persamaan garis singgung
x₁ x + y₁ y = r²
⇔ 3x + 4y = 25 


Contoh 2
Persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{\left ( x+2 \right )^{2}+\left ( y-3 \right )^{2}=10}\) di titik (1, 4) adalah

Jawab :
Dari soal diketahui
P(a, b) ⇔ P(−2, 3)
r² = 10
(x₁, y₁) = (1, 4)

Persamaan garis singgung
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
⇔ (1 + 2)(x + 2) + (4 − 3)(y − 3) = 10
⇔ 3x + 6 + y − 3 = 10
⇔ y = −3x + 7

PGSL Melalui Titik di Luar Lingkaran

Ada dua garis singgung yang dapat dibuat dari titik yang berada diluar lingkaran. Untuk menentukan kedua persamaan garis singgung tersebut, terlebih dahulu tentukan titik-titik singgung sehingga garis singgung di titik tersebut juga melalui titik yang berada diluar lingkaran.

Ada beberapa cara untuk menentukan titik-titik singgung tersebut, salah satunya adalah dengan menggunakan bantuan garis polar atau kutub. Persamaan garis polar dapat ditentukan dengan menggunakan rumus persamaan garis singgung sebelumnya dimana (x₁, y₁) adalah titik yang berada diluar lingkaran.

Karena garis polar memotong lingkaran tepat di titik-titik singgung, maka titik-titik singgung tersebut dapat ditentukan dengan mensubstitusi persamaan garis polar ke persamaan lingkaran. Perhatikan contoh berikut!


Contoh 3
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}=20}\) yang melalui titik (6, −2)

Jawab :
Persamaan lingkaran
x² + y² = 20  ........................(1)

Persamaan garis polar untuk titik (6, −2)
x₁ x + y₁ y = r²
⇔ 6x − 2y = 20
⇔ y = 3x − 10  .....................(2)

Dari persamaan (1) dan (2)
x² + y² = 20
⇔ x² + (3x − 10)² = 20
⇔ x² − 6x + 8 = 0
⇔ (x − 2)(x − 4) = 0
     x = 2 atau x = 4

Dari persamaan (2)
x = 2 ⇒ y = 3.2 − 10 = −4
x = 4 ⇒ y = 3.4 − 10 = 2

Diperoleh titik singgung (2, −4) dan (4, 2)

Persamaan garis singgung di titik (2, −4)
x₁ x + y₁ y = r²
⇔ 2x − 4y = 20
⇔ x − 2y = 10

Persamaan garis singgung di titik (4, 2)
x₁ x + y₁ y = r²
⇔ 4x + 2y = 20
⇔ 2x + y = 10


Contoh 4
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{\left ( x+2 \right )^{2}+\left ( y-3 \right )^{2}=10}\) yang melalui titik (2, 1)

Jawab :
Persamaan lingkaran
(x + 2)² + (y − 3)² = 10  .....................(1)
P(a, b) = (−2, 3)
r² = 10

Persamaan garis polar untuk titik (2, 1)
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
⇔ (2 + 2)(x + 2) + (1 − 3)(y − 3) = 10
⇔ 4x + 8 − 2y + 6 = 10
⇔ y = 2x + 2  ......................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2)
(x + 2)² + (y − 3)² = 10
⇔ (x + 2)² + ((2x + 2) − 3)² = 10
⇔ x² + 4x + 4 + 4x² − 4x + 1 = 10
⇔ 5x² = 5
⇔ x² = 1
⇔ x = ±1

Dari persamaan (2)
x = −1 ⇒ y = 2(−1) + 2 = 0
x = 1   ⇒ y = 2(1) + 2 = 4

Diperoleh titik singgung (−1, 0) dan (1, 4)

Persamaan garis singgung di titik (−1, 0)
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
⇔ (−1 + 2)(x + 2) + (0 − 3)(y − 3) = 10
⇔ x + 2 − 3y + 9 = 10
⇔ x − 3y = −1

Persamaan garis singgung di titik (1, 4)
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
⇔ (1 + 2)(x + 2) + (4 − 3)(y − 3) = 10
⇔ 3x + 6 + y − 3 = 10
⇔ 3x + y = 7

Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m

Persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}\) dengan gradien m adalah $$\mathrm{\mathbf{y-b=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^{2}}}}$$ dengan
(a, b) = pusat lingkaran
r = jari-jari lingkaran
m = gradien garis singgung lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}=r^{2}}\) dengan gradien m adalah $$\mathrm{\mathbf{y=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}}}$$ dengan
r = jari-jari lingkaran
m = gradien garis singgung lingkaran

Contoh 5
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}=5}\), jika gradien garis singgungnya 2

Jawab :
r = \(\sqrt{5}\)
m = 2

Persamaan garis singgung
y = mx ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
y = 2x ± \(\sqrt{5}\)\(\mathrm{\sqrt{1+2^{2}}}\)
y = 2x ± 5

Diperoleh persamaan garis singgung
y = 2x + 5 atau y = 2x − 5


Contoh 6
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=8}\) jika gradien garis singgungnya −1

Jawab :
(a, b) = (2, −1)
r = \(\sqrt{8}\)
m = −1

Persamaan garis singgung
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
y + 1 = −1(x − 2) ± \(\sqrt{8}\)\(\mathrm{\sqrt{1+(-1)^{2}}}\)
y + 1 = −x + 2 ± 4
y = −x + 1 ± 4

Diperoleh persamaan garis singgung
y = −x + 1 + 4 ⇔ y = −x + 5
y = −x + 1 − 4 ⇔ y = −x − 3

Latihan Soal Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Latihan 1
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}-4x+2y-13=0}\) di titik (5, −4)

Jawab :
Uji posisi titik (5, −4) terhadap lingkaran
x² + y² − 4x + 2y − 13 = 0
K = (5)² + (−4)² − 4(5) + 2(−4) − 13 = 0
K = 0 (titik terletak pada lingkaran)

A = −4
B = 2
C = −13

Pusat lingkaran (a, b)
\(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\) = (2, −1)

Kuadrat jari-jari
r² = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\) = 18

Titik singgung
(x₁, y₁) = (5, −4)

Persamaan garis singgung
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
⇔ (5 − 2)(x − 2) + (−4 + 1)(y + 1) = 18
⇔ x − y = 9


Latihan 2
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}+4x-2y-15=0}\) yang melalui titik (8, 1)

Jawab :
Uji posisi titik (8, 1) terhadap lingkaran
x² + y² + 4x − 2y − 15 = 0
K = (8)² + (1)² + 4(8) − 2(1) − 15 = 80
K > 0 (titik diluar lingkaran)

Persamaan lingkaran
x² + y² + 4x − 2y − 15 = 0  ...................(1)
A = 4
B = −2
C = −15

Pusat lingkaran (a, b)
\(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\) = (−2, 1)

Kuadrat jari-jari
r² = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\) = 20

Persamaan garis polar untuk titik (8, 1)
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
⇔ (8 + 2)(x + 2) + (1 − 1)(y − 1) = 20
⇔ x = 0  ................................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2)
x² + y² + 4x − 2y − 15 = 0
⇔ (0)² + y² + 4(0) − 2y − 15 = 0
⇔ y² − 2y − 15 = 0
⇔ (y + 3)(y − 5) = 0
     y = −3 atau y = 5

Diperoleh titik singgung (0, −3) dan (0, 5)

Persamaan garis singgung di titik (0, −3)
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
⇔ (0 + 2)(x + 2) + (−3 − 1)(y − 1) = 20
⇔ x − 2y = 6

Persamaan garis singgung di titik (0, 5)
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
⇔ (0 + 2)(x + 2) + (5 − 1)(y − 1) = 20
⇔ x + 2y = 10


Latihan 3
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}+8x+2y-23=0}\) yang sejajar dengan garis \(\mathrm{3x+y=6}\)

Jawab :
Persamaan lingkaran
x² + y² + 8x + 2y − 23 = 0
A = 8
B = 2
C = −23

Pusat Lingkaran (a, b)
\(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\) = (−4, −1)

Jari-jari lingkaran (r)
r = \(\mathrm{\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}\) = \(\sqrt{40}\)

Misalkan garis h : 3x + y = 6
⇒ m_h = −3

Misalkan g adalah garis singgung lingkaran.
Karena g || h maka
m_g = m_h = −3

Persamaan garis singgung
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
⇔ y + 1 = −3(x + 4) ± \(\sqrt{40}\)\(\mathrm{\sqrt{1+(-3)^{2}}}\)
⇔ y + 1 = −3x − 12 ± 20
⇔ y = −3x − 13 ± 20

Diperoleh persamaan garis singgung
 y = −3x − 13 + 20 ⇔  y = −3x + 7
 y = −3x − 13 − 20 ⇔  y = −3x − 33


Latihan 4
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}-2x-6y-35=0}\) yang tegak lurus terhadap garis \(\mathrm{x+2y=4}\)

Jawab :
Persamaan lingkaran
x² + y² − 2x − 6y − 35 = 0
A = −2
B = −6
C = −35

Pusat Lingkaran (a, b)
\(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\) = (1, 3)

Jari-jari lingkaran (r)
r = \(\mathrm{\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}\) = \(\sqrt{45}\)

Misalkan garis h : x + 2y = 4
⇒ m_h = \(-\frac{1}{2}\)

Misalkan g adalah garis singgung lingkaran.
Karena g ⊥ h maka
m_g . m_h = −1
m_g . \(-\frac{1}{2}\) = −1
⇒ m_g = 2

Persamaan garis singgung
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
⇔ y − 3 = 2(x − 1) ± \(\sqrt{45}\)\(\mathrm{\sqrt{1+(2)^{2}}}\)
⇔ y − 3 = 2x − 2 ± 15
⇔ y = 2x + 1 ± 15

Diperoleh persamaan garis singgung
y = 2x + 1 + 15 ⇔ y = 2x + 16
y = 2x + 1 − 15 ⇔ y = 2x − 14


Latihan 5
Garis singgung lingkaran \(\mathrm{x^{2}+y^{2}-6x-18=0}\) membentuk sudut 60° terhadap sumbu-x positif. Jika salah satu garis singgung lingkaran memotong sumbu-x positif di titik A, tentukan koordinat titik A tersebut

Jawab :

Persamaan lingkaran
x² + y² − 6x − 18 = 0
A = −6
B = 0
C = −18

Pusat Lingkaran (a, b)
\(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\) = P(3, 0)

Jari-jari lingkaran (r)
r = \(\mathrm{\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}}\) = \(\sqrt{27}\)

Gradien garis singgung (m)
m = tan 60° = \(\sqrt{3}\)

Persamaan garis singgung lingkaran
y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\)
⇔ y − 0 = \(\sqrt{3}\)(x − 3) ± \(\sqrt{27}\)\(\mathrm{\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}}\)
⇔ y = \(\sqrt{3}\)x − 3\(\sqrt{3}\) ± 6\(\sqrt{3}\)

Diperoleh persamaan garis singgung
y = \(\sqrt{3}\)x − 3\(\sqrt{3}\) + 6\(\sqrt{3}\) ⇔ y = \(\sqrt{3}\)x + 3\(\sqrt{3}\)

y = \(\sqrt{3}\)x − 3\(\sqrt{3}\) − 6\(\sqrt{3}\) ⇔ y = \(\sqrt{3}\)x − 9\(\sqrt{3}\)

Titik potong sumbu-x
y = 0
⇔ 0 = \(\sqrt{3}\)x + 3\(\sqrt{3}\)
⇔ \(\sqrt{3}\)x = −3\(\sqrt{3}\)
⇔ x = −3

y = 0
⇔ 0 = \(\sqrt{3}\)x − 9\(\sqrt{3}\)
⇔ \(\sqrt{3}\)x = 9\(\sqrt{3}\)
⇔ x = 9

Diperoleh titik potong sumbu-x
(−3, 0) dan (9, 0)

Diantara kedua titik potong tersebut yang memotong sumbu-x positif adalah A(9, 0)