Barisan Aritmatika

Misalkan U1 , U2 , U3 , ... , Un adalah suku-suku suatu barisan bilangan, dengan n bilangan asli. Barisan ini kita sebut barisan aritmatika, jika selisih setiap dua suku yang berurutan/berdekatan selalu konstan atau tetap. Perhatikan barisan bilangan berikut!

2,  5,  8,  11,  14

Selisih dua suku berurutannya adalah
5 - 2  =  8 - 5  =  11 - 8  =  14 - 11  =  3

Karena selisihnya selalu tetap atau sama, kita simpulkan bahwa barisan diatas adalah barisan aritmatika.

Selisih antara dua suku yang berurutan pada barisan aritmatika sering disebut dengan "beda" dan dilambangkan dengan b. Secara umum, beda barisan aritmatika dirumuskan sebagai berikut :

b = U_n - U_n-1

Sedangkan suku pertama biasa dilambangkan dengan a. Dapat kita tulis :

a = U₁

Barisan Aritmatika Naik dan Barisan Aritmatika Turun

Barisan aritmatika dikatakan naik jika dan hanya jika bedanya bernilai positif, sebaliknya barisan aritmatika dikatakan turun jika dan hanya jika bedanya bernilai negatif.

Contoh barisan aritmatika naik :
2 , 4 , 6 , ... , 28    →   b = 2

Contoh barisan aritmatika turun :
15 , 10 , 5 , ... , -60   →   b = -5

Pada barisan aritmatika naik, suku ke-n selalu lebih besar dari suku ke-(n-1). Dapat kita tulis, Un > Un-1 untuk setiap n. Sedangkan, pada barisan aritmatika turun, suku ke-n akan selalu lebih kecil dari suku ke-(n-1). Kita tulis, Un < Un-1 untuk setiap n.

Rumus Suku Ke-n Barisan Aritmatika

Setiap suku barisan aritmatika (kecuali suku pertama) merupakan hasil penjumlahan suku sebelumnya dengan beda. Sebagai contoh, suku kedua merupakan hasil penjumlahan suku pertama dengan beda, suku ketiga merupakan hasil penjumlahan suku kedua dengan beda, dan seterusnya. Perhatikan uraian berikut!

U₁  =  a
U₂  =  U₁ + b  =  a + b
U₃  =  U₂ + b  =  a + 2b
U₄  =  U₃ + b  =  a + 3b
...
U_n  =  U_n-1 + b  =  a + (n - 1)b

Persamaan terakhir diatas sering disebut dengan rumus suku ke-n barisan aritmatika, yaitu :

U_n = a + (n - 1)b

 Contoh 1 
Diketahui barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, ... , 135. Tentukan :
a.   Suku pertama (a)
b.   Beda (b)
c.   Suku ke-25 (U25)
d.   Banyaknya suku barisan tersebut (n)

Jawab :
a.   Suku pertamanya adalah a = 3

b.   Beda barisannya adalah b = 5 - 3 = 2

c.   Suku ke-25 barisan tersebut adalah
      U₂₅  =  a + (25 - 1)b
      U₂₅  =  a + 24b
      U₂₅  =  3 + (24)2
      U₂₅  =  51

d.   Banyaknya suku (n) adalah
      U_n  =  a + (n - 1)b
      135 =  3 + (n - 1)2
      135 =  3 + 2n - 2
      134 =  2n
      n = 67


 Contoh 2 
Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-3 dan suku ke-6 berturut-turut adalah 9 dan 21. Tentukan :
a.   Suku pertama dan beda barisan tersebut!
b.   Suku ke-18 dari barisan tersebut!
c.   Rumus suku ke-n barisan tersebut!

Jawab :
a.   Diketahui U₃ = 9 dan U₆ = 21.
      U₃ = a + 2b = 9
      U₆ = a + 5b = 21  _
                      -3b = -12
                           b = 4

      a + 2b = 9
      a + 2(4) = 9
      a = 1

      Jadi, suku pertamanya 1 dan beda 4.

b.   Suku ke-18 barisan tersebut adalah
      U₁₈ = a + 17b
      U₁₈ = 1 + 17(4)
      U₁₈ = 69

c.   Rumus suku ke-n barisan tersebut adalah
      U_n = a + (n - 1)b
      U_n = 1 + (n - 1)4
      U_n = 1 + 4n - 4
      U_n = 4n - 3


 Contoh 3 
Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah U_n = 5 - 2n.
a.   Tentukan a dan b
b.   Tuliskan 5 buah suku pertama barisan tersebut

Jawab :
a.   Diketahui U_n = 5 - 2n
      U₁ = 5 - 2(1) = 3
      U₂ = 5 - 2(2) = 1
      a = U₁ = 3
      b = U₂ - U₁ = 1 - 3 = -2
      Jadi, a = 3 dan b = -2

b.   Lima suku pertama barisan tersebut adalah
      3,  1,  -1,  -3,  -5

Sifat-Sifat Barisan Aritmatika

Karena polanya yang teratur, ada banyak sifat yang dapat kita turunkan menyangkut barisan aritmatika. Beberapa diantaranya adalah sebagai berikut!

Rumus suku ke-n barisan aritmatika dapat dinyatakan dalam bentuk Un = bn + c, dengan suku pertama barisan tersebut adalah b + c, dan bedanya adalah koefisien dari n, yaitu b.

Perhatikan penjelasan berikut.
Dengan menjabarkan rumus suku ke-n barisan aritmatika akan diperoleh hasil sebagai berikut :
U_n = a + (n - 1)b
U_n = a + bn - b
U_n = bn + a - b

Misalkan a - b = c, persamaan diatas menjadi
U_n = bn + c

Dari persamaan terakhir dapat kita lihat bahwa Un = bn + c merupakan fungsi linier dalam peubah n, dengan domain bilangan asli. Koefisien dari n merupakan beda dari barisan tersebut (gradien dari fungsi), sedangkan c konstan. Karena a - b = c maka a = b + c. Jadi, suku pertamanya adalah b + c.


 Contoh 4 
Diketahui rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah Un = 5 - 2n. Tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut!

Jawab :
Diketahui U_n = 5 - 2n
Berdasarkan sifat diatas, maka
a = -2 + 5 = 3
b = -2
Jadi, suku pertamanya 3 dan beda -2.

Jika Um dan Un adalah suku-suku suatu barisan aritmatika, maka untuk m ≠ n berlaku :

• \(\begin{align}\mathrm{b=\frac{U_{m}-U_{n}}{m-n}}\end{align}\)

• \(\begin{align}\mathrm{U_{m}=U_{n}+(m-n)b}\end{align}\) 

Simak uraian berikut!
Karena Um dan Un adalah suku-suku barisan aritmatika, maka
Um = a + (m - 1)b   ...............(1)
Un = a + (n - 1)b   .................(2)

Jika kita kurangkan persamaan (1) dengan persamaan (2) akan diperoleh
Um - Un = (m - n)b   atau
Um = Un + (m - n)b   atau
b = (Um - Un) / (m - n)


 Contoh 5 
Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-3 dan suku ke-6 berturut-turut adalah 9 dan 21. Tentukan beda dan suku ke-18 barisan tersebut!

Jawab :
Diketahui U₃ = 9  dan  U₆ = 21

Berdasarkan sifat diatas, maka
\(\begin{align}\mathrm{b=\frac{U_{6}-U_{3}}{6-3}=\frac{21-9}{6-3}=4}\end{align}\)

U₁₈ = U₃ + (18 - 3)4
U₁₈ = 9 + (15)4
U₁₈ = 69

Jadi, suku ke-18 barisan tersebut adalah 69 dengan beda 4.

Jika tiga buah bilangan x, y, z membentuk barisan aritmatika, maka berlaku \(\mathrm{2y = x + z}\)

Perhatikan penjelasan berikut!
Karena x, y, z membentuk barisan aritmatika, maka selisih tiap suku berurutannya akan selalu sama. Sehingga, y - x = z - y   atau   2y = x + z.


 Contoh 6 
Diketahui tiga suku pertama barisan aritmatika adalah (x - 1), (2x + 1), dan (x² + 5). Tentukan nilai x yang memenuhi!

Jawab :
Diketahui barisan aritmatika
(x - 1), (2x + 1), (x² + 5)

Berdasarkan sifat diatas, maka
2(2x + 1) = (x - 1) + (x² + 5)
4x + 2 = x² + x + 4
x² - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
x = 1  atau  x = 2

Bilangan asli berurutan diantara x dan y akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 1 dan banyaknya bilangan tersebut adalah y - x - 1.

Misalkan x dan y bilangan asli, dengan x < y.
Bilangan asli diantara x dan y, yaitu :
x + 1 ,  x + 2 , x + 3 , ... , y - 1

dimana : a  = x + 1 , b = 1  dan  U_n = y - 1.

Berdasarkan rumus suku ke-n :
U_n = a + (n - 1)b
y - 1 = x + 1 + (n - 1)(1)
y - 1 = x + n
n = y - x - 1

Sebagai contoh, banyaknya bilangan asli diantara 10 dan 20 adalah 20 - 10 - 1 = 9.

Bilangan asli berurutan yang habis dibagi k / kelipatan k, akan membentuk barisan aritmatika dengan beda k.

 Contoh 7 
Tentukan banyaknya bilangan asli diantara 100 dan 300, dengan syarat bilangan tersebut :

• habis dibagi 3
• tidak habis dibagi 3

Jawab :
Banyak bilangan asli diantara 100 dan 300 adalah
300 - 100 - 1 = 199

• Bilangan asli diantara 100 dan 300 yang habis dibagi 3, yaitu : 102, 105, 107, ... , 297

          dengan banyaknya bilangan (n) :
          U_n = a + (n - 1)b
          297 = 102 + (n - 1)3
          297 = 102 + 3n - 3
          3n = 198
          n = 66

• Banyak bilangan asli diantara 100 dan 300 yang tidak habis dibagi 3 adalah 199 - 66 = 133

Soal Latihan Barisan Aritmatika beserta Pembahasan

 Latihan 1 
Jumlah suku ke-3 dan suku ke-13 dari suatu barisan aritmatika adalah 30. Suku keberapakah dari barisan tersebut yang nilainya 15 ?

Jawab :
Jumlah suku ke-3 dan suku ke-13 adalah 30.
U₃ + U₁₃ = 30
(a + 2b) + (a + 12b) = 30
2a + 14b = 30
a + 7b = 15

Karena a + 7b = U₈ , maka U₈ = 15.
Jadi, suku yang nilainya 15 adalah suku ke-8.


 Latihan 2 
Jumlah suku ke-2 dengan suku ke-5 suatu barisan aritmatika adalah 17, sedangkan jumlah suku ke-4 dengan suku ke-6 adalah 32. Tentukan jumlah suku ke-8 dengan suku ke-10 dari barisan tersebut!

Jawab :
Jumlah suku ke-2 dengan suku ke-5 adalah 17.
U₂ + U₅ = 17
(a + b) + (a + 4b) = 17
2a + 5b = 17   .............................(1)

Jumlah suku ke-4 dengan suku ke-6 adalah 32.
U₄ + U₆ = 32
(a + 3b) + (a + 5b) = 32
2a + 8b = 32   .............................(2)

Eliminasi (1) dan (2) diperoleh
a = -4  dan  b = 5

Jumlah suku ke-8 dengan suku ke-10 adalah
U₈ + U₁₀ = (a + 7b) + (a + 9b)
U₈ + U₁₀ = 2a + 16b
U₈ + U₁₀ = 2(-4) + 16(5)
U₈ + U₁₀ = 72


 Latihan 3 
Tepat tanggal 1 januari 2018, jumlah tabungan Andi sebesar Rp25.000,00 sedangkan jumlah tabungan Budi sebesar Rp15.000,00. Jika setiap harinya Andi menabung sebesar Rp1.000,00 dan Budi menabung sebesar Rp3.000,00, tanggal berapakah jumlah tabungan mereka menjadi sama besar?

Jawab :
Untuk tabungan Andi :
a = 25000  dan  b = 1000
U_n = a + (n - 1)b
U_n = 25000 + (n - 1)(1000)
U_n = 25000 + 1000n - 1000
U_n = 1000n + 24000   ......................(1)

Untuk tabungan Budi :
a = 15000  dan  b = 3000
U_n = a + (n - 1)b
U_n = 15000 + (n - 1)(3000)
U_n = 15000 + 3000n - 3000
U_n = 3000n + 12000   ......................(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh hubungan
3000n + 12000 = 1000n + 24000
2000n = 12000
n = 6

Jadi, jumlah tabungan mereka akan menjadi sama besar pada tanggal 6 Januari 2018.


 Latihan 4 
Tentukan banyaknya bilangan asli 2 angka yang berkelipatan 3 dan habis dibagi 4.

Jawab :
Bilangan-bilangan asli yang berkelipatan m dan habis dibagi n akan membentuk barisan aritmatika dengan bedanya merupakan KPK dari m dan n.

Jadi, bilangan asli dua angka yang berkelipatan 3 dan habis dibagi 4 akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 12, yaitu:
12, 24, 36, ... , 96

Dengan banyaknya bilangan :
U_n = a + (n - 1)b
96 = 12 + (n - 1)12
96 = 12 + 6n - 6
6n = 90
n = 15


 Latihan 5 
Tentukan banyaknya bilangan asli kelipatan 5 yang tidak habis dibagi 3, diantara 99 dan 999 !

Jawab :
Bilangan asli kelipatan 5 diantara 99 dan 999, yaitu : 100, 105, 110, ... , 995.

Dengan banyaknya bilangan :
U_n = a + (n - 1)b
995 = 100 + (n - 1)5
995 = 100 + 5n - 5
5n = 900
n = 180

Bilangan asli kelipatan 5 yang habis dibagi 3 diantara 99 dan 999 akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 15, yaitu :
105, 120, 135,  ... , 990.

Dengan banyaknya bilangan :
U_n = a + (n - 1)b
990 = 105 + (n - 1)(15)
990 = 105 + 15n - 15
15n = 900
n = 60

Jadi, banyaknya bilangan asli kelipatan 5 yang tidak habis dibagi 3 diantara 99 dan 999 adalah
180 - 60 = 120.


 Latihan 6 
Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika, dengan jumlah ketiga bilangan tersebut adalah 9. Jika jumlah kuadrat ketiga bilangan tersebut sama dengan 77, maka hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah...

Jawab :
Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah x, y, z.
x + y + z = 9   ↔   x + z = 9 - y   ...........(1)
x² + y² + z² = 77   ....................................(2)

Karena x, y, z barisan aritmatika, maka berlaku
2y = x + z   ................................................(3)

Dari persamaan (1) dan (3) diperoleh
2y = 9 - y
3y = 9
y = 3

Untuk y = 3, persamaan (1) menjadi
x + z = 6

Untuk y = 3, persamaan (2) menjadi
x² + z² = 68

Karena x² + z² = (x + z)² - 2xz, maka
(x + z)² - 2xz = 68
(6)² - 2xz = 68
2xz = -32
xz = -16

Jadi, hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah
(xz)y = (-16)3 = -48


 Latihan 7 
Diketahui keliling sebuah segitiga adalah 20 cm. Apabila sisi terpendek ditambah 1, ketiga sisinya membentuk barisan aritmatika. Jika sudut di depan sisi terpendek dan sudut di depan sisi terpanjang jumlahnya 120°, maka luas segitiga tersebut adalah ...

Jawab :
Misalkan sisi sisi segitiga tersebut adalah a, b, c, dengan a sisi terpendek dan c sisi terpanjang.
a + b + c = 20   ↔   a + c = 20 - b   ................(1)

(a + 1), b, c membentuk aritmatika, sehingga
2b = (a + 1) + c   ↔   2b - 1 = a + c  ...............(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
2b - 1 = 20 - b
3b = 21
b = 7

Untuk b = 7 persamaan (1) menjadi
a + c = 13

Sudut di depan sisi terpendek dan sudut di depan sisi terpanjang jumlahnya 120°, akibatnya sudut di depan sisi b adalah 60°. Perhatikan gambar!

Dengan aturan cosinus, maka
b² = a² + c² - 2ac cos 60°
b² = (a + c)² - 2ac - 2ac (1/2)
b² = (a + c)² - 3ac
7² = (13)² - 3ac
3ac = 120
ac = 40

Berdasarkan rumus luas segitiga :
L = 1/2(ac) sin 60°
L = 1/2(40) 1/2 √3
L = 10√3