Aplikasi Integral : Menghitung Volume Benda Putar

Volume Benda Putar Terhadap Sumbu-x

Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, garis \(\mathrm{x = a}\) dan \(\mathrm{x = b}\) diputar 360^o mengelilingi sumbu-x adalah :
$$\mathrm{V=\pi\int_{a}^{b}y^{2}\:dx\;\;atau}$$ $$\mathrm{V=\pi\int_{a}^{b}\left [ f(x) \right ]^{2}\:dx}$$

Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y₁ = f(x), y₂ = g(x), garis \(\mathrm{x = a}\) dan \(\mathrm{x = b}\) diputar 360^o mengelilingi sumbu-x adalah : $$\mathrm{V=\pi\int_{a}^{b}\left (y{_{1}}^{2}-y{_{2}}^{2} \right )\:dx\;\;atau}$$ $$\mathrm{V=\pi\int_{a}^{b}\left ( \left [f(x)  \right ]^{2}-\left [g(x)  \right ]^{2} \right )\:dx}$$

Volume Benda Putar Terhadap Sumbu-y

Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva x = f(y), sumbu-y, garis \(\mathrm{y = a}\) dan \(\mathrm{y = b}\) diputar 360^o mengelilingi sumbu-y adalah : $$\mathrm{V=\pi\int_{a}^{b}x^{2}\:dy\;\;atau}$$ $$\mathrm{V=\pi\int_{a}^{b}\left [ f(y) \right ]^{2}\:dy}$$

Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva x₁ = f(y), x₂ = g(y), garis \(\mathrm{x = a}\) dan \(\mathrm{x = b}\) diputar 360^o mengelilingi sumbu-y adalah : $$\mathrm{V=\pi\int_{a}^{b}\left (x{_{1}}^{2}-x{_{2}}^{2} \right )\:dy\;\;atau}$$ $$\mathrm{V=\pi\int_{a}^{b}\left ( \left [f(y)  \right ]^{2}-\left [g(y)  \right ]^{2} \right )\:dy}$$

Contoh 1
Volume Benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=2x-x^{2}}\), sumbu-x, \(\mathrm{0\leq x\leq 1}\), diputar 360^o mengelilingi sumbu-x adalah... satuan volume.

Jawab :
Titik potong sumbu-x  ⇒ y = 0
2x − x² = 0
x(2 − x) = 0
x = 0 atau x = 2

V = π\(\mathrm{\int_{0}^{1}}\)y² dx
V = π\(\mathrm{\int_{0}^{1}}\)(2x − x²)² dx
V = π\(\mathrm{\int_{0}^{1}}\)(x⁴ − 4x³ + 4x²) dx
V = π\(\mathrm{\left [\frac{1}{5}x^{5}-x^{4}+\frac{4}{3}x^{3}  \right ]_{0}^{1}}\)
V = \(\frac{8}{15}\)π


Contoh 2
Volume benda putar yang terjadi jika daerah diantara kurva \(\mathrm{y=\sqrt{x}}\) dan \(\mathrm{y=\frac{1}{2}x}\), diputar 360^o mengelilingi sumbu-x adalah... satuan volume.

Jawab :
Misalkan :
y₁ = √x
y₂ = \(\frac{1}{2}\)x

Titik potong kurva :
y₁ = y₂
√x = \(\frac{1}{2}\)x  (kuadratkan)
x = \(\frac{1}{4}\)x²   (kali 4)
4x = x²
4x − x² = 0
x (4 − x) = 0
x = 0 atau x = 4

V = π\(\mathrm{\int_{0}^{4}}\)(y₁² − y₂²) dx
V = π\(\mathrm{\int_{0}^{4}\left \{ \left ( \sqrt{x} \right )^{2}-\left ( \frac{1}{2}x \right )^{2} \right \}\:dx}\)
V = π\(\mathrm{\int_{0}^{4}}\)(x − \(\frac{1}{4}\)x²) dx
V = π\(\mathrm{\left [ \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{12}x^{3} \right ]_{0}^{4}}\)
V = \(\frac{8}{3}\)π


Contoh 3
Daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=x^{2}}\), garis \(\mathrm{y=2-x}\) dan sumbu-x diputar diputar 360^o mengelilingi sumbu-x. Volume benda putar yang terjadi adalah ... satuan volume.

Jawab :
Misalkan :
y₁ = x²
y₂ = 2 − x

Titik potong kurva :
y₁ = y₂
x² = 2 − x
x² + x − 2 = 0
(x + 2)(x − 1) = 0
x = −2 atau x = 1

Titik potong garis dan sumbu-x  ⇒ y = 0
2 − x = 0
x = 2

V_I = π\(\mathrm{\int_{0}^{1}}\) y₁² dx
V_I = π\(\mathrm{\int_{0}^{1}}\) (x²)² dx
V_I = π\(\mathrm{\int_{0}^{1}}\) x⁴ dx
V_I = π\(\mathrm{\left [\frac{1}{5}x^{5}  \right ]_{0}^{1}}\)
V_I = \(\frac{1}{5}\)π

V_II = π\(\mathrm{\int_{1}^{2}}\) y₂² dx
V_II = π\(\mathrm{\int_{1}^{2}}\) (2 − x)² dx
V_II = π\(\mathrm{\int_{1}^{2}}\) (x² − 4x + 4) dx
V_II = π\(\mathrm{\left [ \frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+4x \right ]_{1}^{2}}\)
V_II = \(\frac{1}{3}\)π

Sehingga diperoleh :
V = V_I + V_II
V = \(\frac{1}{5}\)π + \(\frac{1}{3}\)π
V = \(\frac{8}{15}\)π


Contoh 4
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y^{2}=2x+4}\) dan sumbu-y dikuadran kedua, diputar 360^o mengelilingi sumbu-y adalah ... satuan volume.

Jawab :
y² = 2x + 4
⇒ 2x = y² − 4
⇒ x = \(\frac{1}{2}\)y² − 2

Titik potong kurva dan sumbu-y  ⇒ x = 0
\(\frac{1}{2}\)y² − 2 = 0 (kali 2)
y² − 4 = 0
(y + 2)(y − 2) = 0
y = −2 atau y = 2

V = π\(\mathrm{\int_{0}^{2}}\) x² dy
V = π\(\mathrm{\int_{0}^{2}}\) (\(\frac{1}{2}\)y² − 2)² dy
V = π\(\mathrm{\int_{0}^{2}}\) (\(\frac{1}{4}\)y⁴ − 2y² + 4) dy
V = π\(\mathrm{\left [ \frac{1}{20}y^{5}-\frac{2}{3}y^{3}+4y \right ]_{0}^{2}}\)
V = \(\frac{64}{15}\)π


Contoh 5
Volume benda putar yang terbentuk bila daerah antara kurva \(\mathrm{y=x^{2}-4}\) dan \(\mathrm{y=2x-4}\) diputar 360^o mengelilingi sumbu-y adalah ... satuan volume.

Jawab :
y =  x² − 4
⇒ x² = y + 4

y = 2x − 4
⇒ 2x = y + 4
⇒ x = \(\frac{1}{2}\)y + 2
⇒ x² = (\(\frac{1}{2}\)y + 2)²

Misalkan :
x₁² = y + 4
x₂² = (\(\frac{1}{2}\)y + 2)²

Titik potong kurva :
x₁² = x₂²
y + 4 = (\(\frac{1}{2}\)y + 2)²
y + 4 = \(\frac{1}{4}\)y² + 2y + 4
\(\frac{1}{4}\)y² + y = 0  (kali 4)
y² + 4y = 0
y(y + 4) = 0
y = 0 atau y = −4

V = π\(\mathrm{\int_{-4}^{0}}\)(x₁² − x₂²) dx
V = π\(\mathrm{\int_{-4}^{0}}\){(y + 4) − (\(\frac{1}{4}\)y² + 2y + 4)} dx
V = π\(\mathrm{\int_{-4}^{0}}\)(\(-\frac{1}{4}\)y² − y ) dx
V = π\(\mathrm{\left [ -\frac{1}{12}y^{3}-\frac{1}{2}y^{2} \right ]_{-4}^{0}}\)
V = \(\frac{8}{3}\)π