Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Pada materi grafik fungsi kuadrat telah disinggung bahwa jika digambarkan pada bidang koordinat, grafik fungsi kuadrat akan berbentuk sebuah parabola dengan karakteristik tergantung dari koefisien-koefisien fungsi kuadrat tersebut.

Berikut beberapa karakteristik yang perlu diperhatikan dalam mensketsa grafik fungsi kuadrat.

1. a > 0 : parabola terbuka ke atas
2. a < 0 : parabola terbuka ke bawah
3. D > 0 : memotong sumbu-x di dua titik
4. D = 0 : menyinggung sumbu-x
5. D < 0 : tidak memotong sumbu-x

Dari karakteristik diatas, kita akan memperoleh gambaran kasar tentang grafik fungsi kuadrat tersebut, yang tentu saja akan memudahkan dalam mensketsa nantinya.

Unsur-unsur grafik fungsi kuadrat

Diberikan fungsi kuadrat

y = f (x) = a x^{2} + b x + c

$\mathrm{y=f(x)=ax^{2}+bx+c}$

1. Titik potong sumbu-X

Titik potong sumbu-x diperoleh pada saat

y = 0

$\mathrm{y = 0}$ .

(x_{1}, 0) d a n (x_{2}, 0)

$\mathrm{\left ( x_{1},0 \right )\;dan\;\left ( x_{2},0 \right )}$ Dengan x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0

2. Titik potong sumbu-Y

Titik potong sumbu-y diperoleh pada saat

x = 0

$\mathrm{x = 0}$ .
y = f(0) = a(0)² + b(0) + c = c

(0, c)

$\mathrm{\left ( 0,c \right )}$

3. Persamaan sumbu simetri

Persamaan sumbu simetri adalah garis yang membagi parabola menjadi 2 bagian yang simetris.

x = \frac{- b}{2 a}

$\mathrm{x=\frac{-b}{2a}}$

4. Nilai ekstrim

Nilai ekstrim disebut juga nilai maksimum atau minimum fungsi. Jika nilai ekstrim dinyatakan dengan y, maka :

y = \frac{- D}{4 a}

$\mathrm{y=\frac{-D}{4a}}$

5. Titik puncak

Titik puncak atau titik balik adalah titik dimana fungsi tersebut mencapai nilai maksimum atau minimum.

P (\frac{- b}{2 a}, \frac{- D}{4 a})

$\mathrm{P \left (\frac{-b}{2a} ,\frac{-D}{4a} \right )}$

Catatan :

Jika D = 0, maka titik potong sumbu-x dan titik puncak berada pada titik yang sama, sehingga cukup dicari salah satunya saja.
Jika D < 0, grafik tidak mempunyai titik potong sumbu-x.
Jika b = 0, maka titik potong sumbu-y dan titik puncak berada pada titik yang sama, sehingga cukup dicari salah satunya saja.

Contoh 1
Sketsalah grafik fungsi kuadrat

f (x) = x^{2} - 4 x + 3

$\mathrm{f(x)=x^{2}-4x+3}$

Jawab :
a = 1 > 0 (parabola terbuka ke atas)
b = −4
c = 3

D = b² − 4ac
D = (−4)² − 4.1.3 = 4
D = 4
Karena D > 0, maka parabola memotong sumbu-x di dua titik.

Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0
x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0
x = 1 atau x = 3
⇒ (1, 0) dan (3, 0)

Titik potong sumbu-y ⇒ x = 0
(0, c) ⇒ (0, 3)

Persamaan sumbu simetri
x =

\frac{- b}{2 a}

$\mathrm{\frac{-b}{2a}}$ =

\frac{- (- 4)}{2.1}

$\mathrm{\frac{-(-4)}{2.1}}$ = 2
x = 2

Nilai ekstrim
y =

\frac{- D}{4 a}

$\mathrm{\frac{-D}{4a}}$ =

\frac{- 4}{4.1}

$\mathrm{\frac{-4}{4.1}}$ = −1
y = −1

Titik puncak

P (\frac{- b}{2 a}, \frac{- D}{4 a})

$\mathrm{P\left ( \frac{-b}{2a},\frac{-D}{4a} \right )}$ ⇒ (2, −1)

Lukis titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat, kemudian hubungkan sehingga membentuk sebuah parabola.

Contoh 2
Gambarlah grafik fungsi kuadrat

f (x) = - x^{2} - 4 x - 4

$\mathrm{f(x)=-x^{2}-4x-4}$

Jawab :
a = −1 < 0 (parabola terbuka ke bawah)
b = −4
c = −4

D = b² − 4ac
D = (−4)² − 4.(−1).(−4)
D = 0
Karena D = 0, maka parabola menyinggung sumbu-x, menyebabkan titik potong sumbu-x dan titik puncak berada pada titik yang sama.

Titik potong sumbu-x ⇒ y = 0
−x² − 4x − 4 = 0
x² + 4x + 4 = 0
(x + 2)(x + 2) = 0
x = −2
⇒ (−2, 0)

Karena titik potong sumbu-x dan titik puncak sama, yaitu (−2, 0), maka diperoleh :
Persamaan sumbu simetri : x = −2
Nilai ekstrim : y = 0

Titik potong sumbu-y ⇒ x = 0
(0, c) ⇒ (0, −4)

Karena untuk menggambar parabola minimal diperlukan tiga buah titik, untuk itu kita dapat menentukan titik-titik bantu disekitar sumbu simetri (x = −2).

Untuk x = −1
y = f(−1) = −(−1)² − 4(−1) − 4 = −1
⇒ (−1, −1)

Untuk x = −3
y = f(−3) = −(−3)² − 4(−3) − 4 = −1
⇒ (−3, −1)

Lukis titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat, kemudian hubungkan sehingga membentuk sebuah parabola.

Contoh 3
Gambarlah grafik fungsi kuadrat

f (x) = x^{2} + 1

$\mathrm{f(x)=x^{2}+1}$

Jawab :
a = 1 > 0 (parabola terbuka ke atas)
b = 0 (titik potong sumbu-y = titik puncak)
c = 1

D = b² − 4ac
D = (0)² − 4.1.1\
D = −4
Karena D < 0 maka parabola tidak mempunyai titik potong sumbu-x.

Titik potong sumbu-y
(0, c) ⇒ (0, 1)

Karena titik potong sumbu-y dan titik puncak sama yaitu : (0, 1), maka diperoleh :
Persamaan sumbu simetri : x = 0
Nilai ekstrim : y = 1

Titik-titik bantu :

Untuk x = 1
y = f(1) = (1)² + 1 = 2
⇒ (1, 2)

Untuk x = 2
y = f(2) = (2)² + 1 = 5
⇒ (2, 5)

Untuk x = −1
y = f(−1) = (−1)² + 1 = 2
⇒ (−1, 2)

Untuk x = −2
y = f(−2) = (−2)² + 1 = 5
⇒ (−2, 5)

Catatan :
Dengan mencerminkan titik-titik (1, 2) dan (2, 5) ke sumbu simetri (x = 0), maka akan diperoleh titik-titik (−1, 2) dan (−2, 5). Jadi tidak harus dicari satu per satu seperti cara diatas.

Selanjutnya, dengan menghubungkan titik-titik yang diperoleh pada bidang koordinat, maka akan terbentuk sebuah parabola sebagai berikut :

Grafik fungsi diatas merupakan salah satu contoh grafik fungsi definit positif, dimana grafiknya tidak memotong sumbu-x dan untuk setiap nilai x, grafiknya selalu berada diatas sumbu-x.

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Unsur-unsur grafik fungsi kuadrat

Related Posts