Nilai Maksimum dan Minimum dalam Interval Tertutup

Nilai maksimum/minimum suatu fungsi dalam interval tertutup disebut juga dengan nilai maksimum/minimum mutlak atau global.

Jika suatu fungsi kontinu dan diferensiabel untuk setiap titik pada interval tertutup [a, b], maka nilai maksimum dan minimum fungsi tersebut akan terjadi pada :

1. Titik-titik stasioner yang berada pada [a, b].
2. Titik-titik ujung interval.

Perhatikan grafik fungsi berikut !

Untuk interval [a, b] kurva tersebut mencapai nilai maksimum pada ujung kanan interval dan mencapai nilai minimum pada ujung kiri interval.
Nilai maksimum : f(b)
Nilai minimum : f(a)

Untuk interval [p, s] kurva tersebut mencapai nilai maksimum di titik balik maksimum dan mencapai nilai minimum di titik balik minimum.
Nilai maksimum : f(q)
Nilai minimum : f(r)

Untuk interval [p, b] kurva tersebut mencapai nilai maksimum pada ujung kanan interval dan mencapai nilai minimum di titik balik minimum.
Nilai maksimum : f(b)
Nilai minimum : f(r)

Untuk interval [a, r] kurva tersebut mencapai nilai maksimum di titik balik maksimum dan mencapai nilai minimum pada ujung kiri interval.
Nilai maksimum : f(q)
Nilai minimum ; f(a)

Dengan mengacu dari uraian-uraian ditas, maka nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f(x) dalam interval tertutup [a, b] dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Tentukan nilai stasioner fungsi f(x) yang berada pada interval [a, b].
2. Tentukan nilai fungsi pada ujung-ujung interval, yaitu f(a) dan f(b).
3. Bandingkan nilai-nilai yang diperoleh pada langkah 1 dan 2. Nilai terbesar yang diperoleh adalah nilai maksimum fungsi f(x) dan nilai terkecil yang diperoleh adalah nilai minimum fungsi f(x).

Contoh 1
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{3}-3x+1}\) pada interval [−2, 3]

Jawab :
f '(x) = 3x² − 3

f '(x) = 0
3x² − 3 = 0
3(x² − 1) = 0
3(x + 1)(x − 1) = 0
x = −1 atau x = 1

Nilai stasioner :
f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 1 = 3
f(1) = (1)³ − 3(1) + 1 = −1

Nilai fungsi pada ujung-ujung interval :
f(−2) = (−2)³ − 3(−2) + 1 = −1
f(3) = (3)³ − 3(3) + 1 = 19

Diperoleh :
Nilai maksimum : 19
Nilai minimum : −1


Contoh 2
Jika pada interval [1, 3] fungsi \(\mathrm{f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}}\) mencapai nilai maksimum di \(\mathrm{x = p}\) dan nilai minimum di \(\mathrm{x = q}\), tentukan nilai \(\mathrm{p+q}\) !

Jawab :
f '(x) = −x² + 2x

f '(x) = 0
−x² + 2x = 0
x (−x + 2) = 0
x = 0 atau x = 2

Nilai stasioner untuk x = 0 tidak perlu dicari karena berada diluar interval \([1, 3]\)
f(2) = \(-\frac{1}{3}\)(2)³ + (2)² = \(\frac{4}{3}\)

Nilai fungsi pada ujung-ujung interval :
f(1) = \(-\frac{1}{3}\)(1)³ + (1)² = \(\frac{2}{3}\)
f(3) = \(-\frac{1}{3}\)(3)³ + (3)² = 0

Nilai maksimum = \(\frac{4}{3}\) diperoleh pada saat \(\mathrm{x=p=2}\).
Nilai minimum = 0 diperoleh pada saat \(\mathrm{x=q=3}\)

Jadi, p + q = 5


Contoh 3
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi \(\mathrm{f(x)=sin\,x+cos\,x}\) pada interval \(0\leq x\leq \pi \) !

Jawab :
f '(x) = cos x − sin x

f '(x) = 0
cos x − sin x = 0
cos x  = sin x
\(\mathrm{\frac{sin\,x}{cos\,x}}\) = 1
tan x = 1
⇒ x = \(\frac{1}{4}\)π

f(\(\frac{1}{4}\)π) = sin \(\frac{1}{4}\)π + cos \(\frac{1}{4}\)π
f(\(\frac{1}{4}\)π) = \(\frac{1}{2}\)√2 + \(\frac{1}{2}\)√2
f(\(\frac{1}{4}\)π) = √2

Nilai fungsi pada ujung-ujung interval :
f(0) = sin 0 + cos 0
f(0) = 0 + 1
f(0) = 1

f(π) = sin π + cos π
f(π) = 0 + (−1) = −1
f(π) = −1

Diperoleh :
Nilai maksimum : √2
Nilai minimum : −1