Barisan Geometri

Barisan geometri adalah suatu barisan dimana perbandingan setiap dua suku yang berurutannya selalu tetap atau konstan. Perbandingan dua suku yang berurutan pada barisan geometri ini disebut dengan rasio dan dilambangkan dengan r.

Jadi, barisan U1, U2, U3, ... , Un-1, Un dikatakan barisan geometri, jika memenuhi $$\mathrm{\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{U_{3}}{U_{2}}=\;...=\frac{U_{n}}{U_{n-1}}}$$
Perhatikan barisan bilangan berikut!

1 ,  3 ,  9 ,  27 ,  81

Perbandingan dua suku berurutannya adalah

\(\frac{3}{1}=\frac{9}{3}=\frac{27}{9}=\frac{81}{27}=3\)

Karena perbandingannya selalu tetap, kita simpulkan bahwa barisan diatas merupakan barisan geometri, dengan rasio 3.

Secara umum, rasio dari barisan geometri dirumuskan

\begin{align}
\mathrm{r=\frac{U_{n}}{U_{n-1}}}
\end{align}

Contoh 1
Tentukan rasio dari barisan geometri berikut
8/9 , 4/3 , 2 , 3 , ...

Jawab :
Rasio barisan diatas adalah
r = \(\frac{4/3}{8/9}=\frac{3}{2}\)

Catatan :
Karena perbandingan setiap 2 suku berurutan pada barisan geometri selalu sama, kita bebas memilih 2 suku berurutan yang akan dibandingkan. Untuk contoh diatas, rasionya akan lebih mudah dihitung dengan membandingkan suku keempat dengan suku ketiga.


Misalkan tiga buah bilangan a, b dan c membentuk barisan geometri. Akibatnya,
\(\begin{align}
\mathrm{\frac{b}{a}=\frac{c}{b}\;\;\Leftrightarrow \;\;ac=b^{2}}
\end{align}\)

Dapat kita simpulkan sebagai berikut :

Jika a, b, c membentuk barisan geometri maka berlaku ac = b²

Contoh 2
Tiga suku berurutan dari barisan geometri adalah 4/3 , x , 12. Jika rasio barisan tersebut positif, tentukan x.

Jawab :
Karena barisan  4/3 , x , 12 merupakan barisan geometri, maka berlaku
4/3 . 12 = x²   ⇔   x² = 16   ⇔   x = ±4

Agar rasionya positif, haruslah x juga positif. Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 4

Rumus Suku ke-n Barisan Geometri

Setiap suku pada barisan geometri (kecuali suku pertama) dapat kita pandang sebagai hasil kali suku sebelumnya dengan rasio. Dapat kita tulis :

U1 = a
U2 = U1 . r = a . r = ar
U3 = U2 . r  = ar . r = ar²
U4 = U3 . r = ar² . r = ar³
...

Untuk mendapatkan pola yang teratur, suku pertama dapat kita asumsikan sebagai ar⁰ , dengan pertimbangan bahwa ar⁰ = a.

Sekarang, coba perhatikan pola berikut!
U1 = ar^1-1 = a
U2 = ar^2-1 = ar
U3 = ar^3-1 = ar²
U4 = ar^4-1 = ar³
...
Un = ar^n-1

Persamaan terakhir inilah yang sering kita sebut dengan rumus suku ke-n barisan geometri, yaitu :

Un = ar^n-1

Secara umum, suku-suku barisan geometri dinyatakan dalam bentuk

a ,  ar ,  ar² ,  ar³ ,  ar⁴ ,  ... ,  ar^n-1

dimana a adalah suku pertama dan r adalah rasio barisan tersebut.

Contoh 3
Tentukan suku pertama, rasio dan suku ke-9 dari barisan geometri berikut!
81 ,  27 ,  9 ,  3 , 1 , ...

Jawab :
Suku pertama dan rasio barisan diatas adalah
a = 81   dan   r = 1/3

Berdasarkan rumus suku ke-n barisan geometri maka suku ke-9 adalah
U9 = ar^9-1
U9 = ar⁸
U9 = 81 . (1/3)⁸
U9 = 3⁴ . 3^-8
U9 = 3^-4
U90= 1/81


Contoh 4
Tentukan banyak suku barisan geometri berikut!
4 ,  2 ,  1 ,  1/2 ,   ... ,  1/128

Jawab :
Diketahui :
a = 4
r = 1/2
Un = 1/128

Berdasarkan rumus suku ke-n barisan geometri :
\(\begin{align}
\mathrm{U_{n}} & = \mathrm{ar^{n-1}} \\
\frac{1}{128} & = 4 \left ( \frac{1}{2} \right )^\mathrm{{n-1}} \\
\frac{1}{512} & =  \left ( \frac{1}{2} \right )^\mathrm{{n-1}} \\
\left (\frac{1}{2}  \right )^{9} & = \ \left ( \frac{1}{2} \right )^\mathrm{{n-1}} \\
\end{align}\)

Dari persamaan eksponen diatas diperoleh
n - 1 = 9   ⇔   n = 10

Jadi, banyak suku barisan diatas adalah 10.


Jika kita perhatikan, rumus suku ke-n barisan geometri merupakan fungsi eksponen dalam variabel n. Oleh karenanya, sifat-sifat eksponen atau persamaan eksponen tentunya akan sangat membantu dalam menyelesaikan kasus-kasus yang berkaitan dengan barisan geometri.

Soal Latihan Barisan Geometri Beserta Pembahasan

Latihan 1
Suku pertama dari suatu barisan geometri adalah 1/4 dan rasionya adalah 2. Suku ke berapakah dari barisan tersebut yang nilainya 32 ?

Jawab :
a = 1/4
r = 2
Un = 32

Berdasarkan rumus suku ke-n barisan geometri :
\(\begin{align}
\mathrm{U_{n}} & =\mathrm{ar^{n-1}} \\
32 & = \frac{1}{4}\cdot \mathrm{2^{n-1}} \\
128 & = \mathrm{2^{n-1}} \\
2^{7} & = \mathrm{2^{n-1}} \\
\end{align}\)

Dari persamaan eksponen diatas diperoleh
n - 1 = 7   ⇔   n = 8

Jadi, suku yang nilainya 32 adalah suku ke-8.


Latihan 2
Tentukan suku pertama dan rasio dari barisan geometri dengan rumus Un = 3(2)^3-n

Jawab :
U1 = 3(2)^3-1 = 12
U2 = 3(2)^3-2 = 6

Suku pertamanya adalah
a = 12

Rasionya adalah
r = 6/12 = 1/2


Latihan 3
Nyatakan Un = 3(2)^3-n ke dalam bentuk Un = ar^n-1 , kemudian tentukan a dan r.

Jawab :
Target kita adalah mengubah pangkat 3-n menjadi n-1, yang dapat kita lakukan dengan menggunakan sifat-sifat eksponen.

Un = 3 (2)^3-n
Un = 3 (2^-1)^n-3
Un = 3 (1/2)^n-3
Un = 3 (1/2)^n-1 . (1/2)^-2
Un = 3 (1/2)^n-1 . 4
Un = 12 (1/2)^n-1     ⇔    Un = ar^n-1

Dari persamaan terakhir jelas terlihat bahwa
a = 12 dan r = 1/2


Latihan 4
Suku kedua dan suku kelima dari suatu barisan geometri berturut-turut 1/6 dan 1/48. Tentukan suku ketujuh dari barisan tersebut!

Jawab :
U2 = ar = 1/6
U5 = ar⁴ = 1/48

Bagi kedua persamaan diatas
ar⁴ = 1/48
ar  = 1/6      ፥
r³  = 1/8   ⟶   r = 1/2

Suku ketujuh barisan tersebut adalah
U7 = ar⁶
U6 = ar⁴ . r²
U6 = 1/48 . (1/2)²
U6 = 1/48 . 1/4
U6 = 1/192


Latihan 5
Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jika jumlah ketiga bilangan tersebut sama dengan 21 dan hasil kalinya 216, tentukan bilangan-bilangan tersebut

Jawab :
Misalkan ketiga bilangan tersebut : a, b, c

Jumlah ketiga bilangan 21, akibatnya
a + b + c = 21
a + c = 21 - b   ....................................(1)

Karena a, b, c membentuk barisan geometri, maka
ac = b²   ................................................(2)

Hasil kali ketiga bilangan 216, akibatnya
abc = 216
b(ac) = 216
b(b²) = 216
b³ = 216
b = 6

Substitusi b = 6 ke persamaan (1) dan (2) diperoleh
a + c = 15   ....................................................(1*)
a . c = 36    ....................................................(2*)

Perhatikan kedua persamaan diatas. Dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 36 dan dijumlahkan hasilnya 15 adalah 3 dan 12.

Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah 3, 6 dan 12.


Latihan 6
Jika suku kedua, suku ketiga, dan suku keempat dari suatu barisan geometri berturut-turut adalah (x - 4), (x + 2), (x + 14), tentukan suku pertama dari barisan geometri tersebut!

Jawab :
Misalkan suku pertamanya adalah U1, sehingga suku-suku barisan tersebut adalah
U1 , (x - 4) , (x + 2) , (x + 14) , ...

Karena (x - 4) , (x + 2) , (x + 14) merupakan barisan geometri, maka berlaku
(x - 4)(x + 14) = (x + 2)²
x² + 10x - 56 = x² + 4x + 4
6x = 60
x = 10

Untuk x = 10, barisan tersebut menjadi
U1 , 6 , 12 , 24

Karena U1 , 6 , 12 merupakan barisan geometri, maka berlaku
U1 . 12 = 6²    ⇔   U1 = 3

Jadi, suku pertamanya adalah 3


Latihan 7
Suku pertama dan suku kedua dari suatu barisan geometri berturut-turut adalah p^-2 dan p^x , dengan p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1. Jika suku kesepuluhnya adalah p³⁴ , tentukan nilai x.

Jawab :
U1 = p^-2
U2 = p^x
\(\mathrm{r=\frac{p^{x}}{p^{-2}}=p^{x+2}}\)

U10 = ar⁹
p³⁴ = p^-2 . (p^x+2 )⁹ 
p³⁴ = p^-2 . p^9x+18 
p³⁴ = p^9x+16 

Dari persamaan eksponen diatas diperoleh
9x + 16 = 34  ⇔  9x = 18  ⇔  x = 2


Latihan 8
Sebuah balok berdimensi a × b × c mempunyai volume 216 cm³ dan luas permukaan 252 cm² . Jika a, b, c membentuk barisan geometri turun, tentukan nilai a, b dan c tersebut!

Jawab :
Karena a, b, c membentuk barisan geometri, maka
ac = b²

Volume balok 216 cm³ , akibatnya
abc = 216    ........................................(1)
b . ac = 216
b . b² = 216
     b³ = 216
     b  = 6

Dari persamaan (1), diperoleh
ac = 216/b = 216/6 = 36     (*)
bc = 216/a

Luas balok 252 cm² , akibatnya
2(ab + ac + bc) = 252
ab + ac + bc = 126
a(6) + 36 + 216/a = 126
6a - 90 + 216/a = 0    (kali kedua ruas dengan a)
6a² - 90a + 216 = 0    (bagi kedua ruas dengan 6)
a² - 15a + 36 = 0
(a - 3)(a - 12) = 0
a = 3  atau  a = 12

Karena barisan tersebut turun, haruslah a > b. Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a = 12.

Substitusikan a = 12 ke persamaan ac = 36 (*), sehingga diperoleh c = 3.

Jadi, nilai a, b, c berturut-turut adalah
12 , 6 , 3


Latihan 9
Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri naik dengan jumlah 39. Jika suku tengahnya ditambah 6, terbentuklah barisan aritmatika. Tentukan ketiga bilangan tersebut!

Jawab :
Misalkan ketiga bilangan tersebut : U1, U2, U3

U1 + U2 + U3 = 39
U1 + U3 = 39 - U2   .................................(1)

U1, U2, U3  → barisan geometri
Sehingga berlaku
U1 . U3 = (U2)²   ......................................(2)

U1, (U2 + 6) , U3   → barisan aritmatika
Sehingga berlaku
2(U2 + 6) = U1 + U3
2U2 + 12 = 39 - U2
3U2 = 27
U2 = 9

Untuk U2 = 9, persamaan (1) dan (2) menjadi
U1 + U3 = 30   .........................................(1*)
U1 . U3 = 81    .........................................(2*)

Dua bilangan yang jika dikalikan bernilai 81 dan dijumlahkan bernilai 30 adalah 3 dan 27. Karena barisan tersebut naik, haruslah U1 < U3. Sehingga U1= 3 dan U3 = 27.

Jadi, ketiga bilangan tersebut adalah
3 , 9 , 27


Latihan 10
Diantara bilangan 1 dan 5 disisipkan k bilangan sedemikian sehingga terbentuk suatu barisan aritmatika. Jika U1 , U4 , U10 , dari barisan tersebut membentuk barisan geometri, tentukan k!

Jawab :
Misalkan barisan aritmatika tersebut adalah
1 , U2 , U3 , U4 , U5 , U6 , ... , 5

dengan U1 = 1  dan  Un = 5

U1 , U4 , U10 membentuk barisan geometri, sehingga berlaku
(U4)² = U1 . U10
(U4)² = (1) . U10
(U4)² = U10   ....................................... (*)

U4 = a + 3b = 1 + 3b
U10 = a + 9b = 1 + 9b

Akibatnya, persamaan (*) menjadi
(1 + 3b)² = 1 + 9b
9b² + 6b + 1 = 1 + 9b
9b² - 3b = 0
3b² - b = 0
b(3b - 1) = 0
b = 0  atau b = 1/3

Untuk b = 0, maka barisan tersebut akan menjadi barisan konstan, dimana semua sukunya bernilai 1. Jadi, nilai b yang memenuhi adalah b = 1/3.

Un = a + (n - 1)b
5 = 1 + (n - 1)(1/3)
4 = (n - 1) (1/3)
12 = (n - 1)
n = 13

Jadi, banyak bilangan yang disisipkan adalah
k = 13 - 2 = 11

Latihan 11
Diantara bilangan 2 dan 12 disisipkan 2 bilangan sedemikian sehingga tiga suku pertama dari barisan yang terjadi membentuk barisan geometri, sedangkan tiga suku terakhir membentuk barisan aritmatika. Jika salah satu dari kedua bilangan yang disisipkan bernilai negatif, tentukan kedua bilangan tersebut, lalu tuliskan keempat suku barisan yang terbentuk.

Jawab :
Misalkan kedua bilangan tersebut adalah x dan y, sehingga barisan yang terbentuk adalah
2 ,  x ,  y ,  12

Tiga suku pertama, yaitu 2, x, y membentuk barisan geometri, sehingga berlaku
2y = x²   .................................................(1)

Tiga suku terakhir, yaitu x , y , 12 membentuk barisan aritmatika, sehingga berlaku
2y = x + 12   .........................................(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan
x² = x + 12
x² - x - 12 = 0
(x + 3)(x - 4) = 0
x = -3  atau x = 4

Substitusi nilai x yang diperoleh ke salah satu persamaan diatas, sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut :
x = -3   →   y = 9/2
x = 4    →   y = 8

Karena salah satu dari kedua bilangan tersebut bernilai negatif, maka nilai x dan y yang memenuhi adalah x = -3 dan y = 9/2.

Jadi, barisan yang yang terbentuk adalah
2 , -3 , 9/2 , 12