Penyelesaian Persamaan Eksponen

Penyelesaian dari suatu persamaan eksponen dalam peubah x adalah semua nilai x yang memenuhi persamaan eksponen tersebut atau dengan kata lain, nilai-nilai x yang menyebabkan persamaan eksponen tersebut bernilai benar. Berikut bentuk-bentuk persamaan eksponen beserta sifat-sifat yang digunakan dalam menentukan solusinya.

A.  Bentuk  a^f(x) = a^g(x) 

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok (basis) yang sama pada kedua ruas, yaitu a dan nilainya konstan. Namun pangkatnya berbeda, yaitu f(x) dan g(x). Satu-satunya kondisi agar persamaan tersebut bernilai benar adalah ketika pangkatnya sama, yaitu ketika f(x) = g(x).

 Sifat A  Misalkan a > 0 dan a ≠ 1.

Jika a^f(x) = a^g(x) maka f(x) = g(x)

 Contoh 1 
Tentukan penyelesaian dari 2^2x-7 = 8^1-x
Jawab :
Langkah pertama, samakan basis pada kedua ruas.
2^2x-7 = 8^1-x
2^2x-7 = (2³)^1-x
2^2x-7 = 2^3-3x

Karena basisnya sama, berdasarkan sifat A diperoleh
2x - 7 = 3 - 3x
5x = 10
x = 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 2

B.  Bentuk  a^f(x) = b^f(x) 

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok yang berbeda, yaitu a dan b dan keduanya konstan. Namun, kedua pangkatnya sama, yaitu f(x). Untuk a, b ≠ 0, maka a⁰ = 1 dan b⁰ = 1. Akibatnya a⁰ = b⁰, untuk a, b ≠ 0. Jadi, agar persamaan a^f(x) = b^f(x) bernilai benar, haruslah f(x) = 0.

 Sifat B  Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1.

Jika a^f(x) = b^f(x) maka  f(x) = 0

 Contoh 2 
Tentukan penyelesaian dari 3^2x-2 = 5^x-1

Jawab :
Kedua basis pada persamaan diatas berbeda dan tidak ada sifat-sifat perpangkatan yang dapat kita gunakan untuk menyamakan kedua basis tersebut. Namun, kedua pangkatnya bisa kita samakan menjadi sebagai berikut :
3^2x-2 = 5^x-1
3^2(x-1) = 5^x-1
9^x-1 = 5^x-1

Berdasarkan sifat B, maka
x - 1 = 0
x = 1

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1

C.  Bentuk  a^f(x) = b^g(x)

Persamaan eksponen diatas mempunyai bilangan pokok yang berbeda, yaitu a dan b yang nilainya konstan. Dan pangkatnya juga berbeda yaitu f(x) dan g(x). Solusi dari bentuk seperti ini dapat kita tentukan dengan menggunakan sifat-sifat logaritma.

 Sifat C  Misalkan a, b > 0 dan a, b ≠ 1.

Jika a^f(x) = b^g(x) maka log a^f(x) = log b^g(x) 

 Contoh 3 
Tentukan penyelesaian dari (\(\frac{2}{3}\))^x = 6^1-x

Jawab :
Basis pada kedua ruas persamaan diatas berbeda, begitu pula pangkatnya. Berdasarkan sifat C, maka
log  (\(\frac{2}{3}\))^x = log 6^1-x
x log (\(\frac{2}{3}\)) = (1 - x) log 6       log aⁿ = n log a
x log (\(\frac{2}{3}\)) = log 6 - x log 6   
x log (\(\frac{2}{3}\)) + x log 6 = log 6
x (log (\(\frac{2}{3}\)) + log 6) = log 6
x log 4 = log 6                    log a + log b = log (ab)
x = \(\mathrm{\frac{log\;6}{log\;4}}\)
x = ⁴log 6

Jadi, penyelesaiannya adalah x = ⁴log 6

D.  Bentuk  f(x)^g(x) = 1

Ada 3 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.

1. Karena 1^g(x) = 1 benar untuk setiap g(x), maka f(x)^g(x) = 1 akan bernilai benar ketika f(x) = 1.
2. Karena (-1)^g(x) = 1 benar jika g(x) genap, maka f(x)^g(x) = 1 akan bernilai benar ketika f(x) = -1 dengan syarat g(x) genap.
3. Karena f(x)⁰ = 1 benar jika f(x) ≠ 0, maka f(x)^g(x) = 1 akan bernilai benar ketika g(x) = 0 dengan syarat f(x) ≠ 0.

 Sifat D  Jika f(x)^g(x) = 1 maka   
(1)  f(x) = 1 
(2)  f(x) = -1,  dengan syarat g(x) genap
(3)  g(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0

 Contoh 4 
Tentukan HP dari (2x + 3)^x-1 = 1

Jawab :
Misalkan : f(x) = 2x + 3  dan  g(x) = x - 1

Solusi 1 : f(x) = 1
2x + 3 = 1
2x = -2
x = -1  ✔

Solusi 2 : f(x) = -1, dengan syarat g(x) genap
2x + 3 = -1
2x = -4
x = -2  ✘
Periksa :
Untuk x = -2  →  g(x) = -2 - 1 = -3  (ganjil)
Karena g(x) ganjil, maka x = -2 tidak memenuhi.

Solusi 3 : g(x) = 0, dengan syarat f(x) ≠ 0
x - 1 = 0
x = 1  ✔
Periksa :
Untuk x = 1  →  f(x) = 2(1) + 3 = 5 ≠ 0.
Karena f(x) ≠ 0, maka x = 1 memenuhi.

HP = {-1, 1}

E.  Bentuk  f(x)^h(x) = g(x)^h(x) 

Persamaan eksponen diatas memuat bilangan pokok yang berbeda, yaitu f(x) dan g(x), namun kedua pangkatnya sama, yaitu h(x). Ada 3 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.

1. Karena pangkatnya sama, haruslah bilangan pokoknya juga sama, yaitu f(x) = g(x).
2. Dua buah bilangan yang berlainan tanda, jika dipangkatkan bilangan genap yang sama akan menghasilkan bilangan yang sama. Sebagai ilustrasi, (2)^h(x) = (-2)^h(x)  bernilai benar ketika h(x) genap. Jadi, persamaan f(x)^h(x) = g(x)^h(x)  akan bernilai benar jika f(x) = -g(x) dengan syarat h(x) genap.
3. Untuk f(x) dan g(x) ≠ 0, maka f(x)⁰ = 1 dan g(x)⁰ = 1. Akibatnya, f(x)⁰ = g(x)⁰  ketika f(x) dan g(x) ≠ 0. Jadi, persamaan f(x)^h(x) = g(x)^h(x)  akan bernilai benar jika h(x) = 0 asalkan f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0.

 Sifat E  Jika f(x)^h(x) = g(x)^h(x) maka   
(1)  f(x) = g(x)
(2)  f(x) = -g(x),  dengan syarat h(x) genap
(3)  h(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0

 Contoh 5 
Tentukan HP dari (2x + 1)^x-6 = (x + 5)^x-6

Jawab :
Misalkan : f(x) = 2x + 1,  g(x) = x + 5  dan  h(x) = x - 6

Solusi 1 : f(x) = g(x)
2x + 1 = x + 5
x = 4  ✔

Solusi 2 : f(x) = -g(x),  dengan syarat h(x) genap
2x + 1 = -(x + 5)
2x + 1 = -x - 5
3x = -6
x = -2  ✔
Periksa :
Untuk x = -2  →  h(x) = -2 - 6 = -8 (genap)
Karena h(x) genap, maka x = -2 memenuhi.

Solusi 3 : h(x) = 0,  dengan syarat f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0
x - 6 = 0
x = 6  ✔
Periksa : Untuk x = 6 maka
f(x) = 2(6) + 1 = 13 ≠ 0
g(x) = 6 + 5 = 11 ≠ 0
Karena keduanya ≠ 0, maka x = 6 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai nol, maka x = 6 tidak memenuhi.

∴ HP = {-2, 4, 6}

F.  Bentuk f(x)^g(x) = f(x)^h(x) 

Persamaan eksponen diatas memiliki basis yang sama, yaitu f(x). Namun kedua pangkatnya berbeda, yaitu g(x) dan h(x). Ada 4 kondisi yang menyebabkan persamaan diatas bernilai benar.

1. Karena basisnya sama, haruslah pangkatnya juga sama, yaitu g(x) = h(x).
2. Untuk berapapun nilai g(x) dan h(x), maka 1^g(x) = 1 dan 1^h(x) = 1. Akibatnya, 1^g(x) = 1^h(x)  untuk berapapun nilai g(x) dan h(x). Jadi, persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x) akan bernilai benar jika f(x) = 1.
3. Karena (-1)^g(x) = (-1)^h(x) benar ketika g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil, maka persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x) akan bernilai benar jika f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil. 
4. Untuk g(x) dan h(x) positif, maka 0^g(x) = 0 dan 0^h(x) = 0. Akibatnya, 0^g(x) = 0^h(x) ketika g(x) dan h(x) positif. Jadi, persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x) akan bernilai benar jika f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) kedua positif.

 Sifat F  Jika f(x)^g(x) = f(x)^h(x) maka   
(1)  g(x) = h(x)
(2)  f(x) = 1 
(3)  f(x) = -1,  g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil
(4)  f(x) = 0,  g(x) dan h(x) keduanya positif

 Contoh 6 
Tentukan HP dari (x - 4)^4x = (x - 4)^1+3x

Jawab :
Misalkan : f(x) = x - 4,  g(x) = 4x  dan h(x) = 1 + 3x

Solusi 1 : g(x) = h(x)
4x = 1 + 3x
x = 1  ✔

Solusi 2 : f(x) = 1
x - 4 = 1
x = 5  ✔

Solusi 3 : f(x) = -1,  g(x) dan h(x) keduanya genap/ganjil.
x - 4 = -1
x = 3  ✔
Periksa : Untuk x = 3 maka
g(x) = 4(3) = 12  (genap)
h(x) = 1 + 3(3) = 10  (genap)
Karena keduanya genap, maka x = 3 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya keduanya ganjil, maka x = 3 juga memenuhi. Namun, jika salah satu genap dan yang lain ganjil maka x = 3 tidak memenuhi.

Solusi 4 : f(x) = 0,  g(x) dan h(x) keduanya positif.
x - 4 = 0
x = 4  ✔
Periksa : Untuk x = 4 maka
g(x) = 4(4) = 16  (positif)
h(x) = 1 + 3(4) = 13  (positif)
Karena keduanya positif, maka x = 4 memenuhi.

Catatan : Jika seandainya salah satu atau keduanya bernilai ≤ 0, maka x = 4 tidak memenuhi.

∴ HP = {1, 3, 4, 5}


Coba perhatikan kembali solusi-solusi yang menyangkut syarat pangkat genap pada sifat-sifat diatas. Yang menarik untuk dipertanyakan adalah bagaimana seandainya pangkatnya berbentuk pecahan. Hal ini perlu diulas karena tidak menutup kemungkinan saat memeriksa apakah pangkatnya genap atau ganjil, ternyata yang kita temukan adalah bilangan pecahan, yang sudah jelas bukan merupakan bilangan genap ataupun ganjil.

Yang perlu dipahami adalah ketika kita memberikan syarat bahwa pangkatnya harus genap tujuannya adalah ingin memperoleh nilai positif. Kita tahu bahwa (-1)^p bernilai positif ketika p genap. Namun, bagaimana seandainya p bukan bilangan bulat melainkan bilangan pecahan, misalkan \(\mathrm{\frac{m}{n}}\) dengan m dan n bilangan bulat.

Pertanyaan spesifiknya adalah kapan (-1)\(\mathrm{^{\frac{m}{n}}}\) bernilai positif ?

Berdasarkan sifat eksponen, hubungan pangkat pecahan dengan bentuk akar dapat kita nyatakan sebagai berikut $$(-1)^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{(-1)^{m}}$$ Dari bentuk diatas, dapat kita simpulkan bahwa

• (-1)\(\mathrm{^{\frac{m}{n}}}\) bernilai positif, jika m genap.
• (-1)\(\mathrm{^{\frac{m}{n}}}\) bernilai negatif, jika m dan n ganjil
• (-1)\(\mathrm{^{\frac{m}{n}}}\) tidak terdefinisi untuk bilangan real, jika m ganjil dan n genap.

Karena (-1)\(\mathrm{^{\frac{{\color{Red} m}}{n}}}\) bernilai positif ketika m genap, maka syarat pangkat genap terpenuhi ketika m genap. Namun, bukan berarti kita mengganggap bahwa m/n adalah bilangan genap. 

Sebagai contoh, (3x - 2)^x+1 = 1
Salah satu solusi dari persamaan diatas adalah ketika basisnya -1 dengan syarat pangkatnya genap (sifat D.2)
3x - 2 = -1
3x = 1
x = \(\frac{1}{3}\)

Periksa :
Untuk x = \(\frac{1}{3}\)  →  x + 1 = \(\frac{1}{3}\) + 1 = \(\frac{{\color{Red} 4}}{3}\)
Karena 4 bilangan genap, maka x = \(\frac{1}{3}\) memenuhi.


Selain bentuk-bentuk diatas, terdapat pula persamaan eksponen yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan kuadrat. Biasanya, persamaan seperti ini memuat 3 suku dengan 1 diantaranya konstan. Untuk solusinya dapat disimak pada contoh berikut!

 Contoh 7 
Tentukan HP dari 2^2x - 3. 2^x+1 + 8 = 0

Jawab :
2^2x - 3. 2^x+1 + 8 = 0
(2^x)² - 3. 2^x . 2¹ + 8= 0
(2^x)² - 6(2^x) + 8 = 0

Misalkan 2^x = p, sehingga
p² - 6p + 8 = 0
(p - 2)(p - 4) = 0
p = 2 atau p = 4

Untuk p = 2
2^x = 2
2^x = 2¹
x = 1

Untuk p = 4
2^x = 4
2^x = 2²
x = 2

Jadi, HP = {1, 2}


Ketika mencari solusi dari persamaan eksponen, langkah pertama yang kita lakukan adalah memperhatikan basis dan pangkat pada kedua ruas persamaan tersebut, apakah sama atau berbeda. Hal ini kita lakukan sebagai acuan dalam memilih sifat mana yang akan digunakan. Seandainya kedua basisnya konstan dan memungkinkan untuk disamakan, maka samakan basisnya terlebuh dahulu.

Berikut beberapa contoh latihan soal persamaan eksponen.

 Latihan 1 
Tentukan penyelesaian dari (0,125)^x+1 = \(\sqrt{16^{1-\mathrm{x}}}\)

Jawab :
(0,125)^x+1 = \(\sqrt{16^{1-\mathrm{x}}}\)
\(\mathrm{\left ( \frac{1}{8} \right )^{x+1}}\) = \(16^{\frac{1-\mathrm{x}}{2}}\)
\(\mathrm{\left ( 2^{-3} \right )^{x+1}}\) = \(\left ( 2^{4} \right )^{\frac{1-\mathrm{x}}{2}}\)
(2)^-3x-3 = (2)^2-2x

Berdasarkan sifat A diperoleh
-3x - 3 = 2 - 2x
-x = 5
x = -5

Jadi, penyelesaiannya adalah x = -5


 Latihan 2 
Jika penyelesaian dari 5^t4-1 = 3^t4-1 adalah t₁ dan t₂ dengan t₁ > t₂, tentukan nilai t₂ - t₁ !

Jawab :
Berdasarkan sifat B maka
t⁴ - 1 = 0
(t² - 1)(t² + 1) = 0
(t + 1)(t - 1)(t² + 1) = 0
t = -1  atau t = 1
Catatan : t² + 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian real, dapat diuji dari nilai diskriminannya yang kurang dari nol.

Karena t₁ > t₂ , maka t₁ = 1 dan t₂ = -1. Akibatnya
t₂ - t₁ = -1 - 1 = -2


 Latihan 3 
Tentukan HP dari 3^x2-1 = 2^x+1

Jawab :
Berdasarkan sifat C, maka
log 3^x2-1 = log 2^x+1
(x² - 1) log 3 = (x + 1) log 2
(x + 1)(x - 1) log 3 = (x + 1) log 2
Perhatikan bahwa ruas kiri dan kanan mempunyai faktor yang sama, yaitu (x + 1). Artinya, ruas kiri akan sama dengan ruas kanan ketika (x + 1)  = 0.
x + 1 = 0
x = -1

Untuk (x + 1) ≠ 0, maka
(x + 1)(x - 1) log 3 = (x + 1) log 2
(x - 1) log 3 = log 2
x log 3 - log 3 = log 2
x log 3 = log 2 + log 3
x log 3 = log 6
x = \(\mathrm{\frac{log\;6}{log\;3}}\)
x = ³log 6

HP = {-1, ³log 6}


 Latihan 4 
Tentukan HP dari (x² - x - 1)^3x-9 = 1

Jawab :
Berdasarkan sifat D, persamaan eksponen diatas mempunyai 3 kemungkinan solusi.

Solusi 1 : Basisnya sama dengan 1.
x² - x - 1 = 1
x² - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
x = -1 atau x = 2

Solusi 2 : Basisnya sama dengan -1, dengan syarat pangkatnya genap.
x² - x - 1 = -1
x² - x = 0
x(x - 1) = 0
x = 0 atau x = 1
Untuk x = 0  → (3x - 9) bernilai ganjil
Untuk x = 1  → (3x - 9) bernilai genap
Jadi, yang memenuhi adalah x = 1

Solusi 3 : Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat basisnya tidak sama dengan nol.
3x - 9 = 0
3x = 9
x = 3
Periksa : Untuk x = 3  →  (x² - x - 1) ≠ 0
Jadi, x = 3 memenuhi

∴ HP = {-1, 1, 2, 3}


 Latihan 5 
Tentukan HP dari (x² + 3x - 2)^2x+3 = (x² + 2x + 4)^2x+3

Jawab :
Berdasarkan sifat E, persamaan eksponen diatas mempunyai 3 kemungkinan solusi.

Solusi 1 : Basis kiri sama dengan basis kanan.
x² + 3x - 2 = x² + 2x + 4
3x - 2 = 2x + 4
x = 6

Solusi 2 : Basis berlainan tanda, dengan syarat pangkatnya genap.
x² + 3x - 2 = -(x² + 2x + 4)
x² + 3x - 2 = -x² - 2x - 4
2x² + 5x + 2 = 0
(2x + 1)(x + 2) = 0
x = -1/2 atau x = -2
Periksa :
Untuk x = -1/2  →  (2x + 3) bernilai genap
Untuk x = -2  →  (2x + 3) bernilai ganjil
Jadi, yang memenuhi adalah x = -1/2

Solusi 3 : Pangkatnya sama dengan nol, dengan syarat kedua basisnya tidak sama nol.
2x + 3 = 0
x = -3/2
Periksa : Untuk x = -3/2 maka
(x² + 3x - 2) ≠ 0
(x² + 2x + 4) ≠ 0
Karena keduanya ≠ 0, maka x = -3/2 memenuhi.

∴ HP = {-3/2, -1/2, 6}


 Latihan 6 
Tentukan HP dari (x² - 1)^x-1 = (x² - 1)^x+1

Jawab :
Berdasarkan sifat F, persamaan diatas memiliki 4 kemungkinan solusi.

Solusi 1 : Pangkat kiri sama dengan pangkat kanan.
x - 1 = x + 1
Tidak ada nilai x yang memenuhi.

Solusi 2 : Basisnya sama dengan 1.
x² - 1 = 1
x² = 2
x = √ 2  atau x = -√ 2

Solusi 3 : Basisnya sama dengan -1, dengan syarat kedua pangkatnya genap atau keduanya ganjil.
x² - 1 = -1
x² = 0
x = 0
Periksa : Untuk x = 0 maka
(x - 1) bernilai ganjil
(x + 1) bernilai ganjil
Karena keduanya ganjil, maka x = 0 memenuhi.

Solusi 4 : Basisnya = 0, dengan syarat kedua pangkatnya ≠ 0.
x² - 1 = 0
(x + 1)(x - 1) = 0
x = -1 atau x = 1
Periksa :
Untuk x = -1 maka (x - 1) ≠ 0 dan (x + 1) = 0
Jadi, x = -1 tidak memenuhi.

Untuk x = 1 maka (x - 1) = 0 dan (x + 1) ≠ 0
Jadi, x = 1 tidak memenuhi.

∴ HP = {-√2, 0, √2}


 Latihan 7 
Akar-akar persamaan 9^x+1 - 10.3^x + 1 = 0 adalah x₁ dan x₂. Jika x₁ > x₂, tentukan x₁ - x₂

Jawab :
9^x+1 - 10.3^x + 1 = 0
9^x.9¹ - 10.3^x + 1 = 0
9(3^x)²  - 10(3^x) + 1 = 0

Misalkan a = 3^x sehingga
9a² - 10a + 1 = 0
(9a - 1)(a - 1) = 0
a = \(\frac{1}{9}\) atau a = 1

Untuk a = \(\frac{1}{9}\)
3^x = \(\frac{1}{9}\)
3^x = 3^-2
x = -2

Untuk a = 1
3^x = 1
3^x = 3⁰
x = 0

Karena x₁ > x₂, maka x₁ = 0 dan x₂ = -2. Akibatnya
x₁ - x₂ = 0 - (-2) = 2
Jadi, nilai x₁ - x₂ adalah 2.


 Latihan 8 
Akar-akar persamaan 6^x2-x = 2^x+1 adalah x₁ dan x₂. Tentukan nilai x₁ + x₂

Jawab :
Berdasarkan sifat C :
log 6^x2-x  =  log 2^x+1 
(x² - x) log 6  =  (x + 1) log 2
x² log 6  -  x log 6  =  x log 2  +  log 2
x² log 6  -  x log 6  -  x log 2  -  log 2  =  0
x² log 6  -  (log 6 + log 2)x  -  log 2  =  0
(log 6)x²  -  (log 12)x  -  log 2  =  0

Pandang persamaan diatas sebagai persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien :
a = log 6
b = - log 12
c = - log 2

Berdasarkan rumus kuadrat :
x₁ + x₂ = -b/a
x₁ + x₂ = log12 / log 6
x₁ + x₂ = ⁶log 12

Jadi, x₁ + x₂ = ⁶log 12