Deret Geometri

Jumlah suku-suku dari suatu barisan geometri disebut deret geometri. Deret geometri disebut juga dengan deret ukur. Secara umum, deret geometri dinyatakan dalam bentuk

a  +  ar  +  ar² + ar³ +  ...  +  ar^n-1

dimana, a adalah suku pertama dan r adalah rasio deret tersebut.

Rumus Jumlah n Suku Pertama Barisan Geometri

Jumlah n suku pertama dari barisan geometri dinotasikan dengan Sn, dan dapat dinyatakan dalam persamaan

Sn = a + ar + ar² + ar³ + ... + ar^n-2 + ar^n-1

Jika kedua ruas persamaan diatas kita kalikan dengan r, akan diperoleh persamaan

rSn = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + ar^n-1 + arⁿ

Jika kita perhatikan, ruas kanan dari kedua persamaan diatas memuat penjumlahan berurutan suku-suku mulai dari ar sampai ar^n-1.

Hal ini membimbing kita untuk melakukan proses eliminasi, dengan tujuan untuk mendapatkan persamaan yang lebih sederhana.

Sn  = a + ar + ar² + ar³ + ... + ar^n-2 + ar^n-1
rSn = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + ar^n-1 + arⁿ   _
------------------------------------------------
Sn - rSn = a - arⁿ
Sn (1 - r) = a (1 - rⁿ)
Sn = a (1 - rⁿ) / (1 - r)

Persamaan terakhir, sering disebut dengan rumus jumlah n suku pertama barisan geometri atau jumlah parsial deret geometri, yaitu :

\begin{align}
\mathrm{S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\;\;\;\;;\;\;r\neq1}
\end{align}

dengan
a = suku pertama
r = rasio
Sn = jumlah n suku pertama


Contoh 1
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari barisan geometri berikut!
3 , 6 , 12 , 24 , ...

Jawab :
Dari barisan diatas, kita peroleh
a = 3
r = 6/3 = 2

\(\begin{align}
\mathrm{S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\;\;\Rightarrow\;\; S_{7}=\frac{3(1-2^{7})}{1-2}=381}
\end{align}\)

Jadi, jumlah 7 suku pertamanya adalah 381


Contoh 2
Jumlah 4 suku pertama dari suatu barisan geometri adalah 15/4. Jika rasio barisan tersebut adalah 1/2, maka suku pertamanya adalah ...

Jawab :
Diketahui : S4 = 15/4  dan  r = 1/2

\(\begin{align}
\mathrm{S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\;\;\Rightarrow\;\; S_{4}}&=\mathrm{\frac{a(1-(1/2)^{4})}{1-1/2}} \\
\frac{15}{4}&= \frac{\mathrm{a}(1-1/16)}{1/2} \\
\frac{15}{8}&= \mathrm{a}\left ( \frac{15}{16} \right ) \\
\mathrm{a}&=\frac{15}{8}\cdot \frac{16}{15} \\
\mathrm{a}&= 2
\end{align}\)

Jadi, suku pertama barisan tersebut adalah 2.



Misalkan U1 , U2 , U3 , ... , Un-1 , Un adalah suku-suku suatu barisan geometri. Akibatnya,

Sn   = U1 + U2 + U3 + ... + Un-1 + Un
Sn-1 = U1 + U2 + U3 + ... + Un-1            _
-----------------------------------------
Sn - Sn-1 = Un

Seperti halnya deret aritmatika, pada deret geometri juga berlaku hubungan
Un = Sn - Sn-1

Contoh 3
Jumlah n suku pertama dari suatu barisan geometri dinyatakan dengan rumus Sn = 3(2ⁿ - 1). Tentukan suku keempat dari barisan tersebut! 

Jawab :
Berdasarkan sifat diatas, maka
U4 = S4 - S3

Karena Sn = 3(2ⁿ - 1), maka
S4 = 3(2⁴ - 1) = 45
S3 = 3(2³ - 1) = 21

Jadi, U4 = 45 - 21 = 24

Soal Latihan Deret Geometri Beserta Pembahasan

Latihan 1
Jika suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah Un = 3.2ⁿ⁺¹ , tentukan jumlah 6 suku pertama dari barisan tersebut!

Jawab :
Un = 3.2ⁿ⁺¹  maka
U1 = 3.2¹⁺¹ = 12
U2 = 3.2²⁺¹ = 24

Diperoleh a = 12  dan  r = 24/12 = 2

Jumlah 6 suku pertamanya :
\(\begin{align}
\mathrm{S_{n}}&=\mathrm{\frac{a(1-r^{n})}{1-r}}\;\;\Rightarrow \;\;\mathrm{S_{6}}=\frac{12(1-2^{6})}{1-2}=756
\end{align}\)


Latihan 2
Jumlah n suku pertama dari suatu barisan geometri dirumuskan Sn = 4(1 - 2ⁿ) . Tentukan suku pertama dan rasio dari barisan geometri tersebut!

Jawab :
Sn = 4(1 - 2ⁿ) , maka
S1 = 4(1 - 2¹) = -4
S2 = 4(1 - 2²) = -12

Berdasarkan sifat  Un = Sn - Sn-1, maka
U1 = S1 = -4
U2 = S2 - S1 = -12 - (-4) = -8

Diperoleh a = -4  dan  r = (-8)/(-4) = 2

Jadi, suku pertamanya -4 dan rasio 2.



Latihan 3
Hitung deret geometri berikut!
2 - 4 + 8 - 16 + ... + 512

Jawab :
Diketahui :
a = 2
r = -4/2 = -2
Un = 512

Berdasarkan rumus suku ke-n barisan geometri :
Un = ar^n-1
512 = 2 (-2)^n-1
256 = (-2)^n-1
(-2)⁸ = (-2)^n-1

Dari persamaan eksponen diatas diperoleh
n - 1 = 8   ⇔   n = 9

Jadi, jumlah deret geometri tersebut adalah
\(\begin{align}
\mathrm{S_{n} = \frac{a(1-r^{n})}{1-r}}\;\;\Leftrightarrow \;\;\mathrm{S_{9}}&=\frac{2\left [1-(-2)^{9}  \right ]}{1-(-2)} \\
& = \frac{2\left [ 513 \right ]}{3} \\
& = 342
\end{align}\)


Latihan 4
Diketahui persamaan 3 + 6 + 12 + ... + x = 765. Jika ruas kiri merepresentasikan deret geometri, maka nilai x adalah ...

Jawab :
Diketahui :
a = 3
r = 6/3 = 2
Un = x
Sn = 765

Untuk menentukan nilai x, terlebih dahulu kita harus mencari nilai n.
\(\begin{align}
\mathrm{S_{n}}&=\mathrm{\frac{a(1-r^{n})}{1-r}} \\
765&= \frac{3(1-2^{\mathrm{n}})}{1-2} \\
-765&=3(1-2^{\mathrm{n}}) \\
-255&=1-2^{\mathrm{n}} \\
2^{\mathrm{n}}&= 256 \\
\mathrm{n}& = 8
\end{align}\)

Karena n = 8, berarti x adalah suku ke-8.
x = U8
x = ar⁷ 
x = 3 . 2⁷ 
x = 384


Latihan 5
Jumlah suku pertama dengan suku ketujuh dari suatu barisan geometri adalah 65, sedangkan hasil kali suku ketiga dengan suku kelimanya adalah 64. Tentukan jumlah 5 suku pertama barisan tersebut, jika disyaratkan r < 1.

Jawab :
Jumlah suku pertama dengan suku ketujuh adalah 65, kita tulis :
     U1 + U7 = 65
     a + ar⁶ = 65
     ar⁶ = 65 - a   ....................................(*)

Hasil kali suku ketiga dengan suku kelima adalah 64, kita tulis :
     U3 . U5 = 64
     ar². ar⁴ = 64
     a . ar⁶ = 64
     a . (65 - a) = 64
     65a - a² - 64 = 0
     a² - 65a + 64 = 0
     (a - 1)(a - 64) = 0
     a = 1  atau  a = 64

Substitusi nilai a  ke persamaan (*) :
Untuk  a = 1     →   r = 2
Untuk  a = 64   →   r = 1/2

Karena r < 1, maka yang memenuhi adalah
a = 64  dan  r = 1/2

Jadi, jumlah 5 suku pertamanya :
\(\begin{align}
\mathrm{S_{n}}=\mathrm{\frac{a(1-r^{n})}{1-r}}\;\;\Rightarrow \;\;\mathrm{S_{5}}&=\frac{64\left [1-(1/2)^{5} \right ]}{1-1/2} \\
& = \frac{64\left [ 1-1/32 \right ]}{1/2} \\
& = 128\left [ \frac{31}{32} \right ] \\
& = 124
\end{align}\)