Uji Kecekungan dalam Menentukan Titik Belok Fungsi

Perhatikan grafik fungsi berikut !

Dari grafik fungsi diatas dapat dilihat bahwa :
1.  f cekung ke bawah pada interval x < a atau b < x < c
2.  f cekung ke atas pada interval a < x < b atau x > c.

Titik (a, f(a)), (b, f(b)) dan (c, f(c)) disebut titik belok dimana pada titik tersebut terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya.

Uji Kecekungan Fungsi

Interval kecekungan suatu fungsi dapat ditentukan dari turunan kedua fungsi tersebut.

1. f(x) cekung ke atas pada setiap nilai x yang memenuhi f ''(x) > 0
2. f(x) cekung ke bawah pada setiap nilai x yang memenuhi f ''(x) < 0

Contoh 1

Tentukan interval-interval \(\mathrm{f(x)=x^{3}-6x^{2}-2x+1}\) cekung ke atas dan cekung ke bawah!

Jawab :
f '(x) =  3x² − 12x

f ''(x) = 6x − 12

f(x) cekung ke atas ⇒ f ''(x) > 0
6x − 12 > 0
x > 2

f(x) cekung ke bawah ⇒ f ''(x) < 0
6x − 12 < 0
x < 2

Jadi f(x) cekung ke atas pada interval x > 2 dan f(x) cekung ke bawah pada interval x < 2.

Titik Belok Fungsi

Misalkan f(x) diferensiabel dua kali pada x = a dan f ''(a) = 0.
Titik (a, f(a)) disebut titik belok fungsi f jika di sekitar titik tersebut terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya, dapat ditulis :

Untuk x < a maka f ''(x) > 0 (cekung ke atas)
Untuk x > a maka f ''(x) < 0 (cekung ke bawah)

atau

Untuk x < a maka f ''(x) < 0 (cekung ke bawah)
Untuk x > a maka f ''(x) > 0 (cekung ke atas)


Contoh 2
Titik belok dari f(x) = x³ − 3x² + 4x adalah...

Jawab :
f '(x) = 3x² − 6x + 4
f ''(x) = 6x − 6

f ''(x) = 0
6x − 6 = 0
x = 1

f(1) = (1)³ − 3(1)² + 4(1) = 2
⇒ (1, 2)

Karena terjadi perubahan kecekungan di x = 1, maka titik (1, 2) adalah titik belok fungsi f.


Contoh 3
Tentukan titik belok dari \(\mathrm{f(x)=x^{4}-6x^{2}+2x-1}\)

Jawab :
f '(x) = 4x³ − 12x +  2
f ''(x) = 12x² − 12

f ''(x) = 0
12x² − 12 = 0
x² − 1 = 0
(x + 1)(x − 1) = 0
x = −1 atau x = 1

f(−1) = (−1)⁴ − 6(−1)² + 2(−1) − 1 = −8
⇒ (−1, −8)
f(1) = (1)⁴ − 6(1)² + 2(1) − 1 = −4
⇒ (1, −4)

Karena terjadi perubahan kecekungan di x = -1 dan x = 1, maka titik (-1, -8) dan (1, -4) adalah titik belok fungsi f.


Contoh 4
Tentukan titik belok dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{4}-4x^{3}+6x^{2}+1}\)

Jawab :
f '(x) = 4x³ − 12x² + 12x
f ''(x) = 12x² − 24x + 12

f ''(x) = 0
12x² − 24x + 12 = 0
x² − 2x + 1 = 0
(x −1)(x − 1) = 0
x = 1

f(1) = (1)⁴ − 4(1)³ + 6(1)² + 1 = 4
⇒ (1, 4)

Karena tidak terjadi perubahan kecekungan pada x = 1, maka titik (1, 4) bukan titik belok fungsi f atau dengan kata lain fungsi tersebut tidak mempunyai titik belok.