Luas Daerah di Atas Sumbu-x
Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, garis \(\mathrm{x=a}\) dan \(\mathrm{x=b}\)
dengan \(\mathrm{f(x)\geq 0}\) pada \(\mathrm{[a,b]}\) adalah :$$\mathrm{L=\int_{a}^{b}f(x)\:dx}$$
Contoh 1
Luas daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=-x^{2}+3x}\), sumbu-x, \(\mathrm{x=0}\) dan \(\mathrm{x=2}\) adalah... satuan luas
Jawab :
Sketsa grafik :
L = \(\mathrm{\int_{0}^{2}}\)(−x2 + 3x) dx
L = \(\mathrm{\left [-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2} \right ]_{0}^{2}}\)
L = \(\frac{10}{3}\)
Contoh 2
Luas daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=4-x^{2}}\), garis \(\mathrm{y=x+2}\) pada interval \(\mathrm{-1\leq x\leq 1}\) adalah... satuan luas.
Jawab :
Sketsa grafik :
L = \(\mathrm{\int_{-1}^{1}}\)((4 − x2) − (x + 2)) dx
L = \(\mathrm{\int_{-1}^{1}}\)(−x2 − x + 2) dx
L = \(\mathrm{\left [-\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+2x \right ]_{-1}^{1}}\)
L = \(\frac{10}{3}\)
$$\mathrm{L=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)\;dx}$$
Jika luas tepat dibatasi 2 kurva, maka batas-batas integralnya diperoleh dari titik potong kedua kurva tersebut \(\mathrm{\left ( f(x)=g(x) \right )}\).
$$\mathrm{L=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left (f(x)-g(x) \right )\;dx}$$
Misalkan luas berada pada interval [a, b]. Jika titik potong sumbu-x atau titik potong kurva berada pada interval (a, b), maka pecah batasnya menjadi [a, x] dan [x, b], dengan x adalah titik potong yang berada pada interval (a, b).
Perhatikan beberapa kasus berikut !
$$\mathrm{L=-\int_{a}^{x_{2}}f(x)\;dx+\int_{x_{2}}^{b}f(x)\;dx}$$
$$\mathrm{L=\int_{a}^{x_{1}}\left (f(x)-g(x) \right )\:dx+\int_{x_{1}}^{b}\left ( g(x)-f(x) \right )\:dx}$$
$$\mathrm{L=\int_{a}^{x_{1}}f(x)\:dx+\int_{x_{1}}^{b}g(x)\:dx}$$
Contoh 4
Luas daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=x^{2}-4x}\) dan sumbu-x, pada interval \(\mathrm{-1\leq x\leq 3}\) adalah...
Jawab :
Sketsa grafik :
Titik potong sumbu-x :
x2 − 4x = 0
x(x − 4) = 0
x = 0 atau x = 4
Untuk interval [−1, 0] :
L1 = \(\mathrm{\int_{-1}^{0}}\)(x2 − 4x) dx
L1 = \(\mathrm{\left [ \frac{1}{3}x^{3}-2x^{2} \right ]_{-1}^{0}}\)
L1 = \(\frac{7}{3}\)
Untuk interval [0, 3]
LII = \(\mathrm{-\int_{0}^{3}}\)(x2 − 4x) dx
LII = \(\mathrm{-\left [ \frac{1}{3}x^{3}-2x^{2} \right ]_{0}^{3}}\)
LII = 9
Jadi, luas untuk interval \([-1,3]\) adalah :
L = L1 + LII
L = \(\frac{7}{3}\) + 9
L = \(\frac{34}{3}\)
Contoh 5
Tentukan luas untuk setiap daerah arsiran berikut !
Jawab :
Persamaan parabola yang memotong sumbu-x di titik (0, 0) dan (5, 0) dan melalui titik (1, −4) adalah :
y = a(x − x1)(x − x2)
−4 = a(1 − 0)(1 − 5)
⇒ a = 1
y = 1.(x − 0)(x − 5)
⇒ y = x2 − 5x
Persamaan garis yang melalui titik (1, −4) dan (3, 0) adalah :
\(\mathrm{\mathbf{\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}\)
\(\mathrm{\frac{y-(-4)}{0-(-4)}=\frac{x-1}{3-1}}\)
⇒ y = 2x − 6
Titik potong kurva dan garis :
x2 − 5x = 2x − 6
x2 − 7x + 6 = 0
(x − 1)(x − 6) = 0
x = 1 atau x = 6
Luas I
Luas I di batasi parabola \(\mathrm{y=x^{2}-5x}\) dan garis \(\mathrm{y=-4}\).
Batas-batas integralnya adalah titik potong garis dan parabola tersebut.
x2 − 5x = −4
x2 − 5x + 4 = 0
(x − 1)(x − 4) = 0
x = 1 atau x = 4
L1 = \(\mathrm{\int_{1}^{4}}\)((−4) − (x2 − 5x)) dx
L1 = \(\mathrm{\int_{1}^{4}}\)(− x2 + 5x − 4) dx
L1 = \(\mathrm{\left [ -\frac{1}{3}x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-4x \right ]_{1}^{4}}\)
L1 = \(\frac{9}{2}\)
Luas II
Pecah batasnya menjadi [0, 1] dan [1, 3].
Untuk interval [0, 1] :
L = \(\mathrm{-\int_{0}^{1}}\)(x2 − 5x) dx
L = \(\mathrm{-\left [ \frac{1}{3}x^{3}-\frac{5}{2}x^{2} \right ]_{0}^{1}}\)
L = \(\frac{13}{6}\)
Untuk interval [1, 3] :
L = \(\mathrm{-\int_{1}^{3}}\)(2x − 6) dx
L = \(\mathrm{-\left [ x^{2}-6x \right ]_{1}^{3}}\)
L = 4
Sehingga diperoleh :
LII = \(\frac{13}{6}\) + 4
LII = \(\frac{37}{6}\)
Luas III
Pecah batasnya menjadi [3, 5] dan [5, 6].
Untuk interval [3, 5] :
L = \(\mathrm{\int_{3}^{5}}\)(2x − 6) dx
L = \(\mathrm{\left [ x^{2}-6x \right ]_{3}^{5}}\)
L = 4
Untuk interval [5, 6] :
L = \(\mathrm{\int_{5}^{6}}\)((2x − 6) − (x2 − 5x)) dx
L = \(\mathrm{\int_{5}^{6}}\)(−x2 + 7x − 6) dx
L = \(\mathrm{\left [ -\frac{1}{3}x^{3}+\frac{7}{2}x^{2}-6x \right ]_{5}^{6}}\)
L = \(\frac{13}{6}\)
Sehingga diperoleh :
LIII = 4 + \(\frac{13}{6}\)
LIII = \(\frac{37}{6}\)
atau luas III dapat ditentukan dari selisih daerah yang dibatasi garis \(\mathrm{y=2x-6}\) dan sumbu-x pada interval [3, 6] dengan daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=x^{2}-5x}\) dan sumbu-x pada interval [5, 6].
Luas Daerah di Bawah Sumbu-x
Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, garis \(\mathrm{x=a}\) dan \(\mathrm{x=b}\) dengan \(\mathrm{f(x)\leq 0}\) pada \(\mathrm{[a,b]}\) adalah : $$\mathrm{L=-\int_{a}^{b}f(x)\:dx}$$
Luas Antara Dua Kurva
Luas daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=f(x)}\), \(\mathrm{y=g(x)}\), garis \(\mathrm{x=a}\) dan \(\mathrm{x=b}\) dengan \(\mathrm{f(x)\geq g(x)}\) pada \(\mathrm{[a,b]}\) adalah : $$\mathrm{L=\int_{a}^{b}\left ( f(x)-g(x) \right )\:dx}$$
Contoh 1
Luas daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=-x^{2}+3x}\), sumbu-x, \(\mathrm{x=0}\) dan \(\mathrm{x=2}\) adalah... satuan luas
Jawab :
Sketsa grafik :
L = \(\mathrm{\int_{0}^{2}}\)(−x2 + 3x) dx
L = \(\mathrm{\left [-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2} \right ]_{0}^{2}}\)
L = \(\frac{10}{3}\)
Luas daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=4-x^{2}}\), garis \(\mathrm{y=x+2}\) pada interval \(\mathrm{-1\leq x\leq 1}\) adalah... satuan luas.
Jawab :
Sketsa grafik :
L = \(\mathrm{\int_{-1}^{1}}\)((4 − x2) − (x + 2)) dx
L = \(\mathrm{\int_{-1}^{1}}\)(−x2 − x + 2) dx
L = \(\mathrm{\left [-\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}+2x \right ]_{-1}^{1}}\)
L = \(\frac{10}{3}\)
Luas Tepat Dibatasi Kurva
Jika luas tepat dibatasi satu kurva dan sumbu-x, maka batas-batas integralnya adalah titik potong sumbu-x kurva tersebut.
Contoh 3
Luas daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=x^{2}-1}\) dan garis \(\mathrm{y=-x-1}\) adalah...
Jawab :
Sketsa grafik :
Titik potong kurva :
x2 − 1 = −x − 1
x2 + x = 0
x (x + 1) = 0
x = 0 atau x = −1
L = \(\mathrm{\int_{-1}^{0}}\)((−x − 1) − (x2 − 1)) dx
L = \(\mathrm{\int_{-1}^{0}}\)(−x2 − x) dx
L = \(\mathrm{\left [-\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2} \right ]_{-1}^{0}}\)
L = \(\frac{1}{6}\)
Luas daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=x^{2}-1}\) dan garis \(\mathrm{y=-x-1}\) adalah...
Jawab :
Sketsa grafik :
Titik potong kurva :
x2 − 1 = −x − 1
x2 + x = 0
x (x + 1) = 0
x = 0 atau x = −1
L = \(\mathrm{\int_{-1}^{0}}\)((−x − 1) − (x2 − 1)) dx
L = \(\mathrm{\int_{-1}^{0}}\)(−x2 − x) dx
L = \(\mathrm{\left [-\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2} \right ]_{-1}^{0}}\)
L = \(\frac{1}{6}\)
Menentukan Batas-Batas Pengintegralan
Terkadang batas-batas yang diberikan belum tentu merupakan batas-batas yang digunakan dalam proses pengintegralan. Untuk kasus-kasus tertentu, kita perlu membagi atau memecah batas-batas tersebut baru kemudian mencari satu persatu luas pada masing-masing interval yang telah dipecah.Misalkan luas berada pada interval [a, b]. Jika titik potong sumbu-x atau titik potong kurva berada pada interval (a, b), maka pecah batasnya menjadi [a, x] dan [x, b], dengan x adalah titik potong yang berada pada interval (a, b).
Perhatikan beberapa kasus berikut !
Luas daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=x^{2}-4x}\) dan sumbu-x, pada interval \(\mathrm{-1\leq x\leq 3}\) adalah...
Jawab :
Sketsa grafik :
Titik potong sumbu-x :
x2 − 4x = 0
x(x − 4) = 0
x = 0 atau x = 4
Untuk interval [−1, 0] :
L1 = \(\mathrm{\int_{-1}^{0}}\)(x2 − 4x) dx
L1 = \(\mathrm{\left [ \frac{1}{3}x^{3}-2x^{2} \right ]_{-1}^{0}}\)
L1 = \(\frac{7}{3}\)
Untuk interval [0, 3]
LII = \(\mathrm{-\int_{0}^{3}}\)(x2 − 4x) dx
LII = \(\mathrm{-\left [ \frac{1}{3}x^{3}-2x^{2} \right ]_{0}^{3}}\)
LII = 9
Jadi, luas untuk interval \([-1,3]\) adalah :
L = L1 + LII
L = \(\frac{7}{3}\) + 9
L = \(\frac{34}{3}\)
Contoh 5
Tentukan luas untuk setiap daerah arsiran berikut !
Jawab :
Persamaan parabola yang memotong sumbu-x di titik (0, 0) dan (5, 0) dan melalui titik (1, −4) adalah :
y = a(x − x1)(x − x2)
−4 = a(1 − 0)(1 − 5)
⇒ a = 1
y = 1.(x − 0)(x − 5)
⇒ y = x2 − 5x
Persamaan garis yang melalui titik (1, −4) dan (3, 0) adalah :
\(\mathrm{\mathbf{\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}\)
\(\mathrm{\frac{y-(-4)}{0-(-4)}=\frac{x-1}{3-1}}\)
⇒ y = 2x − 6
Titik potong kurva dan garis :
x2 − 5x = 2x − 6
x2 − 7x + 6 = 0
(x − 1)(x − 6) = 0
x = 1 atau x = 6
Luas I di batasi parabola \(\mathrm{y=x^{2}-5x}\) dan garis \(\mathrm{y=-4}\).
Batas-batas integralnya adalah titik potong garis dan parabola tersebut.
x2 − 5x = −4
x2 − 5x + 4 = 0
(x − 1)(x − 4) = 0
x = 1 atau x = 4
L1 = \(\mathrm{\int_{1}^{4}}\)((−4) − (x2 − 5x)) dx
L1 = \(\mathrm{\int_{1}^{4}}\)(− x2 + 5x − 4) dx
L1 = \(\mathrm{\left [ -\frac{1}{3}x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-4x \right ]_{1}^{4}}\)
L1 = \(\frac{9}{2}\)
Luas II
Pecah batasnya menjadi [0, 1] dan [1, 3].
Untuk interval [0, 1] :
L = \(\mathrm{-\int_{0}^{1}}\)(x2 − 5x) dx
L = \(\mathrm{-\left [ \frac{1}{3}x^{3}-\frac{5}{2}x^{2} \right ]_{0}^{1}}\)
L = \(\frac{13}{6}\)
Untuk interval [1, 3] :
L = \(\mathrm{-\int_{1}^{3}}\)(2x − 6) dx
L = \(\mathrm{-\left [ x^{2}-6x \right ]_{1}^{3}}\)
L = 4
Sehingga diperoleh :
LII = \(\frac{13}{6}\) + 4
LII = \(\frac{37}{6}\)
Luas III
Pecah batasnya menjadi [3, 5] dan [5, 6].
Untuk interval [3, 5] :
L = \(\mathrm{\int_{3}^{5}}\)(2x − 6) dx
L = \(\mathrm{\left [ x^{2}-6x \right ]_{3}^{5}}\)
L = 4
Untuk interval [5, 6] :
L = \(\mathrm{\int_{5}^{6}}\)((2x − 6) − (x2 − 5x)) dx
L = \(\mathrm{\int_{5}^{6}}\)(−x2 + 7x − 6) dx
L = \(\mathrm{\left [ -\frac{1}{3}x^{3}+\frac{7}{2}x^{2}-6x \right ]_{5}^{6}}\)
L = \(\frac{13}{6}\)
Sehingga diperoleh :
LIII = 4 + \(\frac{13}{6}\)
LIII = \(\frac{37}{6}\)
atau luas III dapat ditentukan dari selisih daerah yang dibatasi garis \(\mathrm{y=2x-6}\) dan sumbu-x pada interval [3, 6] dengan daerah yang dibatasi kurva \(\mathrm{y=x^{2}-5x}\) dan sumbu-x pada interval [5, 6].
EmoticonEmoticon