Pertidaksamaan Rasional atau Pecahan

Pertidaksamaan rasional adalah suatu bentuk pertidaksamaan yang memuat fungsi rasional, yaitu fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk $\mathrm{\frac{f(x)}{g(x)}}$ dengan syarat g(x) ≠ 0.

Bentuk umum pertidaksamaan rasional :

$\mathrm{\frac{f(x)}{g(x)}}$ > 0 atau $\mathrm{\frac{f(x)}{g(x)}}$ ≥ 0 ; g(x) ≠ 0

$\mathrm{\frac{f(x)}{g(x)}}$ < 0 atau $\mathrm{\frac{f(x)}{g(x)}}$ ≤ 0 ; g(x) ≠ 0.

Berikut hal-hal yang tidak dibenarkan dalam menyederhanakan bentuk pertidaksamaan rasional karena akan merubah domain fungsi tersebut :

Kali silang $$\mathrm{\frac{f(x)}{g(x)}> c\;\;{\color{Red} \not\equiv}\;\; f(x)>c\,.\,g(x)}$$
Mencoret fungsi ataupun faktor yang sama pada pembilang dan penyebut $$\mathrm{\frac{f(x)\,.\,g(x)}{g(x)}> c\;\;{\color{Red} \not\equiv}\;\; f(x)>c}$$

Himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan rasional dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

Nyatakan dalam bentuk umum.
Tentukan pembuat nol pada pembilang dan penyebut.
Tulis pembuat nol pada garis bilangan dan tentukan tanda untuk tiap-tiap interval pada garis bilangan.
Tentukan daerah penyelesaian. Untuk pertidaksamaan ">" atau "≥" daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda positif dan untuk pertidaksamaan "<" atau "≤" daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda negaitf.
Dengan memperhatikan syarat bahwa penyebut tidak sama dengan nol, tulis himpunan penyelesaian yaitu interval yang memuat daerah penyelesaian.

Contoh 1

Tentukan HP dari $\mathrm{\frac{x-3}{x+1}}$ ≥ 0

Jawab :
Pembuat nol :
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 1 = 0 ⇒ x = −1

Syarat :
x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ −1

Untuk interval x < −1, ambil x = −2 :
$\mathrm{\frac{-2-3}{-2+1}}$ = 5 (+)

Untuk interval −1 < x ≤ 3, ambil x = 0 :
$\mathrm{\frac{0-3}{0+1}}$ = −3 (−)

Untuk interval x > 3, ambil x = 4 :
$\mathrm{\frac{4-3}{4+1}}$ = $\frac{1}{5}$ (+)

Karena pertidaksamaan bertanda "≥", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).

∴ HP = {x < −1 atau x ≥ 3}

Contoh 2
Tentukan HP dari $\mathrm{\frac{2x-1}{4-x}}$ > 0

Jawab :
Pembuat nol :
2x − 1 = 0 ⇒ x = $\frac{1}{2}$
4 − x = 0 ⇒ x = 4

Syarat :
4 − x ≠ 0 ⇒ x ≠ 4

Karena pertidaksamaan bertanda ">", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).

∴ HP = {$\frac{1}{2}$ < x < 4}

Contoh 3
Tentukan HP dari $\mathrm{\frac{x^{2}-2x+1}{x+2}< 0}$

Jawab :
$\mathrm{\frac{(x-1)(x-1)}{x+2}<0}$

Pembuat nol :
(x − 1)(x − 1) = 0 ⇒ x = 1
x + 2 = 0 ⇒ x = −2

Syarat :
x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ −2

Karena pertidaksamaan bertanda "<", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).

∴ HP = {x < −2}

Contoh 4

Tentukan HP dari $\mathrm{\frac{x-5}{x^{2}+6x+9}\leq 0}$

Jawab :

$\mathrm{\frac{x-5}{(x+3)(x+3)}\leq 0}$

Pembuat nol :
x − 5 = 0 ⇒ x = 5
(x + 3)(x + 3) = 0 ⇒ x = −3

Syarat :
(x + 3)(x + 3) ≠ 0 ⇒ x ≠ −3

Karena pertidaksamaan bertanda "≤", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).

∴ HP = {x < −3 atau −3 < x ≤ 5} atau
HP = {x ≤ 5 dan x ≠ −3}

Dari contoh-contoh diatas kita dapat menyimpulkan sebagai berikut :

Pembuat nol pada penyebut selalu digambarkan dengan bulatan kosong apapun tanda pertidaksamaan.
Tanda untuk tiap-tiap interval selalu berselang-seling positif dan negatif jika pertidaksamaan memuat faktor linier yang berbeda (contoh 1 dan 2).
Tanda untuk tiap-tiap interval menjadi tidak berselang-seling jika pertidaksamaan memuat faktor linier yang sama (contoh 3 dan 4).

Pertidaksamaan rasional yang memuat fungsi definit

Pada materi fungsi kuadrat kita mengenal adanya fungsi yang selalu bernilai positif untuk setiap x bilangan real (definit positif) dan fungsi yang selalu bernilai negatif untuk setiap x bilangan real (definit negatif).

Fungsi definit positif dalam suatu pertidaksamaan rasional dapat diabaikan tanpa harus membalik tanda pertidaksamaan.

Contoh 5
Tentukan HP dari $\mathrm{\frac{x-4}{x^{3}+x}\leq 0}$

Jawab :
$\mathrm{\frac{x-4}{x(x^{2}+1)}\leq 0}$

x² + 1 merupakan fungsi definit positif, dapat dibuktikan dengan syarat definit positif yaitu : a > 0 dan D < 0.

Jadi, x² + 1 dapat diabaikan tanpa harus membalik tanda pertidaksamaan, sehingga pertidaksamaan diatas setara dengan :
$\mathrm{\frac{x-4}{x}\leq 0}$

Pembuat nol :
x − 4 = 0 ⇒ x = 4
x = 0

Syarat :
x ≠ 0

Karena pertidaksamaan bertanda "≤", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {0 < x ≤ 4}

Fungsi definit negatif dalam suatu pertidaksamaan rasional dapat diabaikan dengan syarat tanda pertidaksamaan harus diubah atau dibalik.

Contoh 6
Tentukan HP dari $\mathrm{\frac{-x^{2}+x-2}{x^{2}-4x+3}\leq 0}$

Jawab :
$\mathrm{\frac{-x^{2}+x-2}{(x-1)(x-3)}\leq 0}$

−x² + x − 2 merupakan fungsi definit negatif, dapat dibuktikan dengan syarat definit negatif yaitu : a < 0 dan D < 0.

Jadi, −x² + x − 2 dapat diabaikan dengan syarat tanda pertidaksamaan harus diubah atau dibalik, sehingga pertidaksamaan diatas setara dengan :
$\mathrm{\frac{1}{(x-1)(x-3)}\geq 0}$

Pembuat nol :
(x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 atau x = 3

Syarat :
(x − 1)(x − 3) ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 atau x ≠ 3

Karena pertidaksamaan bertanda "≥", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x < 1 atau x > 3}

Latihan Soal Pertidaksaman Rasional

Latihan 1
Tentukan HP dari $\mathrm{\frac{2x-1}{x+2}\geq 1}$

Jawab :
⇔ $\mathrm{\frac{2x-1}{x+2}}$ − 1 ≥ 0
⇔ $\mathrm{\frac{2x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x+2}}$ ≥ 0
⇔ $\mathrm{\frac{2x-1-x-2}{x+2}}$ ≥ 0
⇔ $\mathrm{\frac{x-3}{x+2}}$ ≥ 0

Pembuat nol :
x − 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 2 = 0 ⇒ x = −2

Syarat :
x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ −2

Karena pertidaksamaan bertanda "≥", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x < −2 atau x ≥ 3}

Latihan 2
Tentukan HP dari $\mathrm{2>\frac{5x}{x-4}}$

Jawab :
Pertidaksamaan diatas dapat ditulis menjadi :
$\mathrm{\frac{5x}{x-4}}$ < 2

⇔ $\mathrm{\frac{5x}{x-4}}$ − 2 < 0
⇔ $\mathrm{\frac{5x}{x-4}-\frac{2(x-4)}{x-4}}$ < 0
⇔ $\mathrm{\frac{5x-2x+8}{x-4}}$ < 0
⇔ $\mathrm{\frac{3x+8}{x-4}}$ < 0

Pembuat nol :
3x + 8 = 0 ⇒ x = $-\frac{8}{3}$
x − 4 = 0 ⇒ x = 4

Syarat :
x − 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 4

Karena pertidaksamaan bertanda "<", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {$-\frac{8}{3}$ < x < 4}

Latihan 3
Tentukan HP dari $\mathrm{\frac{1-3x}{2x-2}\leq \frac{1}{2}}$

Jawab :
⇔ $\mathrm{\frac{1-3x}{2x-2}-\frac{1}{2}}$ ≤ 0
⇔ $\mathrm{\frac{1-3x}{2(x-1)}-\frac{1(x-1)}{2(x-1)}}$ ≤ 0
⇔ $\mathrm{\frac{1-3x-x+1}{2(x-1)}}$ ≤ 0
⇔ $\mathrm{\frac{2-4x}{2(x-1)}}$ ≤ 0

Pembuat nol :
2 − 4x = 0 ⇒ x = $\frac{1}{2}$
x − 1 = 0 ⇒ x = 1

Syarat :
x − 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

Karena pertidaksamaan bertanda "≤", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {x ≤ $\frac{1}{2}$ atau x > 1}

Latihan 4
Tentukan HP dari $\mathrm{\frac{x^{2}+3x}{x+1}\geq 3}$

Jawab :
⇔ $\mathrm{\frac{x^{2}+3x}{x+1}}$ − 3 ≥ 0
⇔ $\mathrm{\frac{x^{2}+3x}{x+1}}$ − $\mathrm{\frac{3(x+1)}{x+1}}$ ≥ 0
⇔ $\mathrm{\frac{x^{2}+3x-3x-3}{x+1}}$ ≥ 0
⇔ $\mathrm{\frac{x^{2}-3}{x+1}}$ ≥ 0
⇔ $\mathrm{\frac{(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})}{x+1}}$ ≥ 0

Pembuat nol :
(x + √3)(x − √3) = 0 ⇒ x = √3 atau x = −√3
x + 1 = 0 ⇒ x = −1

Syarat :
x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ −1

Karena pertidaksamaan bertanda "≥", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {−√3 ≤ x < −1 atau x ≥ √3}

Latihan 5
Tentukan HP dari $\mathrm{\frac{x+1}{x-2}\geq \frac{1}{x-1}}$

Jawab :
⇔ $\mathrm{\frac{x+1}{x-2}-\frac{1}{x-1}}$ ≥ 0
⇔ $\mathrm{\frac{(x+1)(x-1)-(x-2)}{(x-2)(x-1)}}$ ≥ 0
⇔ $\mathrm{\frac{x^{2}-1-x+2}{(x-2)(x-1)}}$ ≥ 0
⇔ $\mathrm{\frac{x^{2}-x+1}{(x-2)(x-1)}}$ ≥ 0

x² − x + 1 merupakan fungsi definit positif, sehingga dapat diabaikan tanpa harus mengubah atau membalik tanda pertidaksamaan.

Jadi pertidaksamaan diatas setara dengan
$\mathrm{\frac{1}{(x-2)(x-1)}}$ ≥ 0

Pembuat nol :
(x − 2)(x − 1) = 0 ⇒ x = 2 atau x = 1

Syarat :
(x − 2)(x − 1) ≠ 0 ⇒ x ≠ 2 atau x ≠ 1

Karena pertidaksamaan bertanda "≥", maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (+).
∴ HP = {x < 1 atau x > 2}

Latihan 6
Tentukan HP dari $\mathrm{\frac{4}{-x^{2}-4}\geq \frac{1}{x-1}}$

Jawab :
⇔ $\mathrm{\frac{4}{-x^{2}-4}-\frac{1}{x-1}}$ ≥ 0
⇔ $\mathrm{\frac{4(x-1)-(-x^{2}-4)}{(-x^{2}-4)(x-1)}}$ ≥ 0
⇔ $\mathrm{\frac{4x-4+x^{2}+4}{(-x^{2}-4)(x-1)}}$ ≥ 0
⇔ $\mathrm{\frac{x^{2}+4x}{(-x^{2}-4)(x-1)}}$ ≥ 0
⇔ $\mathrm{\frac{x(x+4)}{(-x^{2}-4)(x-1)}}$ ≥ 0

−x² − 4 merupakan fungsi definit negatif sehingga dapat diabaikan dengan syarat tanda pertidaksamaan diubah atau dibalik.

Jadi pertidaksamaan diatas setara dengan
$\mathrm{\frac{x(x+4)}{x-1}}$ ≤ 0

Pembuat nol :
x(x + 4) = 0 ⇒ x = 0 atau x = −4
x − 1 = 0 ⇒ x = 1

Syarat :
x − 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

Karena pertidaksamaan bertanda "≤" maka daerah penyelesaian berada pada interval yang bertanda (−).
∴ HP = {x ≤ −4 atau 0 ≤ x < 1}