Pertidaksamaan Irasional atau Bentuk Akar

Pertidaksamaan irasional adalah suatu bentuk pertidaksamaan yang fungsi-fungsi pembentuknya berada dibawah tanda akar, baik fungsi pada ruas kiri, ruas kanan ataupun pada kedua ruasnya.

Untuk semesta bilangan real, pertidaksamaan irasional akan terdefinisi jika syarat akar terpenuhi yaitu fungsi yang berada dibawah tanda akar bernilai lebih dari atau sama dengan nol.

Penyelesaian dari pertidaksamaan irasional dilakukan dengan cara menguadratkan kedua ruas yang kemudian disederhanakan dengan operasi-operasi aljabar hingga diperoleh suatu interval tertentu. Solusi akhirnya adalah irisan dari syarat akar dengan interval yang telah diperoleh tadi.

Bentuk-Bentuk Pertidaksamaan Irasional Beserta Solusi

1.  Bentuk \(\mathrm{\mathbf{\sqrt{f(x)}>k}}\)

Untuk k ≥ 0
Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ f(x) > k²

Untuk k < 0
Solusi : f(x) ≥ 0

Contoh 1
Tentukan HP dari \(\mathrm{\sqrt{x-2}>3}\)

Jawab :
x − 2 ≥ 0 ∩ x − 2 > 3²
x ≥ 2 ∩ x > 11
⇒ x > 11

HP = {x > 11}


Contoh 2
Tentukan HP dari \(\mathrm{\sqrt{x+3}>-2}\)

Jawab :
x + 3 ≥ 0
⇒ x ≥ −3

HP = {x ≥ −3}


2.  Bentuk \(\mathrm{\mathbf{\sqrt{f(x)}<k}}\)

Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ f(x) < k²

Bentuk diatas hanya mempunyai solusi jika k > 0. Jika k ≤ 0, maka pertidaksamaan diatas tidak mempunyai solusi/penyelesaian.

Contoh 3
Tentukan HP dari \(\mathrm{\sqrt{2x-1}<1}\)

Jawab :
2x − 1 ≥ 0 ∩ 2x − 1 < 1²
x ≥ \(\frac{1}{2}\) ∩ x < 1
⇒ \(\frac{1}{2}\) ≤ x < 1

HP = {\(\frac{1}{2}\) ≤ x < 1}


3.  Bentuk \(\mathrm{\mathbf{\sqrt{f(x)}>g(x)}}\)

f(x) ≥ 0 ∩ g(x) ≥ 0 ∩ f(x) > (g(x))² ......(1)
f(x) ≥ 0 ∩ g(x) < 0 ................................(2)

Solusi : 1 ∪ 2

Contoh 4
Tentukan HP dari \(\mathrm{\sqrt{x+2}>x}\)

Jawab :
x + 2 ≥ 0 ∩ x ≥ 0 ∩ x + 2 > x²
x ≥ −2 ∩ x ≥ 0 ∩ x² −x − 2 < 0
x ≥ −2 ∩ x ≥ 0 ∩ −1 < x < 2

0 ≤ x < 2 ....(1)

x + 2 ≥ 0 ∩ x < 0
x ≥ −2 ∩ x < 0

−2 ≤ x < 0 ....(2)

1 ∪ 2 ⇒ −2 ≤ x < 2

HP = {−2 ≤ x < 2}


4.  Bentuk \(\mathrm{\mathbf{\sqrt{f(x)}<g(x)}}\)

Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ g(x) > 0 ∩ f(x) < (g(x))²

Contoh 5
Tentukan HP dari \(\mathrm{\sqrt{x+5}<x-1}\)

Jawab :
x + 5 ≥ 0 ∩ x − 1 > 0   ∩ x + 5 < (x − 1)²
x ≥ −5 ∩ x > 1 ∩ x + 5 < x² −2x + 1
x ≥ −5 ∩ x > 1 ∩ x² − 3x − 4 > 0
x ≥ −5 ∩ x > 1 ∩ x < −1 atau x > 4
⇒ x > 4

HP = {x > 4}


5.  Bentuk \(\mathrm{\mathbf{\sqrt{f(x)}>\sqrt{g(x)}}}\)

Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ g(x) ≥ 0 ∩ f(x) > g(x)

Contoh 6
Tentukan HP dari \(\mathrm{\sqrt{2x-4}>\sqrt{x-6}}\)

Jawab :
2x − 4 ≥ 0 ∩ x − 6 ≥ 0 ∩ 2x − 4 > x − 6
x ≥ 2 ∩ x ≥ 6 ∩ x > −2
⇒ x ≥ 6

HP = {x ≥ 6}


6.  Bentuk \(\mathrm{\mathbf{\sqrt{f(x)}<\sqrt{g(x)}}}\)

Solusi : f(x) ≥ 0 ∩ g(x) ≥ 0 ∩ f(x) < g(x)

Contoh 7
Tentukan HP dari \(\mathrm{\sqrt{2x-1}<\sqrt{1+x}}\)

Jawab :
2x − 1 ≥ 0 ∩ 1 + x ≥ 0 ∩ 2x − 1 < 1 + x
x ≥ \(\frac{1}{2}\) ∩ x ≥ −1 ∩ x < 2
⇒ \(\frac{1}{2}\) ≤ x < 2

HP = {\(\frac{1}{2}\) ≤ x < 2}