Untuk menghitung nilai perbandingan trigonometri suatu sudut, dibutuhkan alat bantu seperti kalkulator ataupun tabel trigonometri. Namun, ada sudut-sudut tertentu yang dapat dengan mudah kita tentukan nilai fungsinya tanpa harus menggunakan alat bantu seperti diatas. Sudut-sudut inilah yang sering kita sebut dengan sudut-sudut istimewa.
Dengan Phytagoras akan diperoleh
AC = \(\sqrt{a^{2}+a^{2}}\) = \(a\sqrt{2}\)
Perhatikan segitiga ABC, untuk ∠A = 45° maka
sin(45°) = \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac{a}{a\sqrt{2}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\)
cos(45°) = \(\frac{AB}{AC}\) = \(\frac{a}{a\sqrt{2}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\)
tan(45°) = \(\frac{BC}{AB}\) = \(\frac{a}{a}\) = 1
Dengan Phytagoras akan diperoleh
CD = \(\sqrt{\left ( 2a \right )^{2}-a^{2}}\) = a\(\sqrt{3}\)
Perhatikan segitiga ACD
sin(30°) = \(\mathrm{\frac{AD}{AC}}\) = \(\frac{a}{2a}\) = \(\frac{1}{2}\)
cos(30°) = \(\mathrm{\frac{CD}{AC}}\) = \(\frac{a\sqrt{3}}{2a}\) = \(\frac{1}{2}\sqrt{3}\)
tan(30°) = \(\mathrm{\frac{AD}{CD}}\) = \(\frac{a}{a\sqrt{3}}\) = \(\frac{1}{3}\sqrt{3}\)
sin(60°) = \(\mathrm{\frac{CD}{AC}}\) = \(\frac{a\sqrt{3}}{2a}\) = \(\frac{1}{2}\sqrt{3}\)
cos(60°) = \(\mathrm{\frac{AD}{AC}}\) = \(\frac{a}{2a}\) = \(\frac{1}{2}\)
tan(60°) = \(\mathrm{\frac{CD}{AD}}\) = \(\frac{a\sqrt{3}}{a}\) = \(\sqrt{3}\)
Berikut nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa yang disajikan dalam bentuk tabel.
Gunakan tabel diatas untuk menyelesaikan contoh-contoh soal berikut.
Contoh 1
Tentukan nilai dari csc θ, sec θ dan cot θ, untuk θ = 30°, 45°, 60°
Jawab :
csc 30° = \(\mathrm{\frac{1}{sin\,30^{\circ}}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{2}}}\) = 2
sec 30° = \(\mathrm{\frac{1}{cos\,30^{\circ}}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}}\) = \(\frac{2}{3}\)√3
cot 30° = \(\mathrm{\frac{1}{tan\,30^{\circ}}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{3}\sqrt{3}}}\) = √3
csc 45° = \(\mathrm{\frac{1}{sin\,45^{\circ}}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}}\) = √2
sec 45° = \(\mathrm{\frac{1}{cos\,45^{\circ}}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}}\) = √2
cot 45° = \(\mathrm{\frac{1}{tan\,45^{\circ}}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{1}}\) = 1
csc 60° = \(\mathrm{\frac{1}{sin\,60^{\circ}}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}}\) = \(\frac{2}{3}\)√3
sec 60° = \(\mathrm{\frac{1}{cos\,60^{\circ}}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{2}}}\) = 2
cot 60° = \(\mathrm{\frac{1}{tan\,60^{\circ}}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{3}}}\) = \(\frac{1}{3}\)√3
Contoh 2
Tentukan panjang BD dan besar sudut C pada bangun berikut!
Jawab :
Perhatikan segitiga ABD
sin 45° = \(\mathrm{\frac{BD}{AD}}\)
BD = AD × sin 45°
BD = 6 × \(\frac{1}{2}\)√2
BD = 3√2
diperoleh BD = 3√2 m
Perhatikan segitiga BCD
tan C = \(\mathrm{\frac{BD}{CD}}\)
tan C = \(\mathrm{\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}}\)
tan C = √3
diperoleh tan C = √3
berdasarkan tabel, maka C = 60°
Contoh 3
Jika sin(A−B) = cos(A+B) = \(\frac{1}{2}\) dan \(\mathrm{0^{\circ}<A+B<90^{\circ}}\), tentukan nilai dari csc(2B) − tan(A)
Jawab :
Karena 0° < A + B < 90°, maka A dan B adalah sudut lancip.
sin(A − B) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ A − B = 30° .......................(1)
cos(A + B) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ A + B = 60° .......................(2)
Dengan menggunkan metode eliminasi atau substitusi pada persamaan (1) dan (2) diperoleh
A = 45°
B = 15°
csc(2B) − tan(A) = csc(2. 15°) − tan(45°)
csc(2B) − tan(A) = csc(30°) − tan(45°)
csc(2B) − tan(A) = 2 − 1
csc(2B) − tan(A) = 1
Sudut 45°
Diberikan sebuah persegi ABCD dengan panjang sisi a. Diagonal AC akan membagi ∠A dan ∠C sama besar, masing-masing 45°.AC = \(\sqrt{a^{2}+a^{2}}\) = \(a\sqrt{2}\)
Perhatikan segitiga ABC, untuk ∠A = 45° maka
sin(45°) = \(\frac{BC}{AC}\) = \(\frac{a}{a\sqrt{2}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\)
cos(45°) = \(\frac{AB}{AC}\) = \(\frac{a}{a\sqrt{2}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\)
tan(45°) = \(\frac{BC}{AB}\) = \(\frac{a}{a}\) = 1
Sudut 30° dan 60°
Diberikan segitiga sama sisi ABC dengan panjang sisi 2a. Titik D terletak ditengah AB, sehingga CD membagi ∠C sama besar, masing-masing 30°.Dengan Phytagoras akan diperoleh
CD = \(\sqrt{\left ( 2a \right )^{2}-a^{2}}\) = a\(\sqrt{3}\)
Perhatikan segitiga ACD
sin(30°) = \(\mathrm{\frac{AD}{AC}}\) = \(\frac{a}{2a}\) = \(\frac{1}{2}\)
cos(30°) = \(\mathrm{\frac{CD}{AC}}\) = \(\frac{a\sqrt{3}}{2a}\) = \(\frac{1}{2}\sqrt{3}\)
tan(30°) = \(\mathrm{\frac{AD}{CD}}\) = \(\frac{a}{a\sqrt{3}}\) = \(\frac{1}{3}\sqrt{3}\)
sin(60°) = \(\mathrm{\frac{CD}{AC}}\) = \(\frac{a\sqrt{3}}{2a}\) = \(\frac{1}{2}\sqrt{3}\)
cos(60°) = \(\mathrm{\frac{AD}{AC}}\) = \(\frac{a}{2a}\) = \(\frac{1}{2}\)
tan(60°) = \(\mathrm{\frac{CD}{AD}}\) = \(\frac{a\sqrt{3}}{a}\) = \(\sqrt{3}\)
Berikut nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa yang disajikan dalam bentuk tabel.
30°
|
45°
|
60°
|
|
sin(θ)
|
\(\frac{1}{2}\)
|
\(\frac{1}{2}\)√2
|
\(\frac{1}{2}\)√3
|
cos(θ)
|
\(\frac{1}{2}\)√3
|
\(\frac{1}{2}\)√2
|
\(\frac{1}{2}\)
|
tan(θ)
|
\(\frac{1}{3}\)√3
|
1
|
√3
|
Gunakan tabel diatas untuk menyelesaikan contoh-contoh soal berikut.
Contoh 1
Tentukan nilai dari csc θ, sec θ dan cot θ, untuk θ = 30°, 45°, 60°
Jawab :
csc 30° = \(\mathrm{\frac{1}{sin\,30^{\circ}}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{2}}}\) = 2
sec 30° = \(\mathrm{\frac{1}{cos\,30^{\circ}}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}}\) = \(\frac{2}{3}\)√3
cot 30° = \(\mathrm{\frac{1}{tan\,30^{\circ}}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{3}\sqrt{3}}}\) = √3
csc 45° = \(\mathrm{\frac{1}{sin\,45^{\circ}}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}}\) = √2
sec 45° = \(\mathrm{\frac{1}{cos\,45^{\circ}}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}}\) = √2
cot 45° = \(\mathrm{\frac{1}{tan\,45^{\circ}}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{1}}\) = 1
csc 60° = \(\mathrm{\frac{1}{sin\,60^{\circ}}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}}\) = \(\frac{2}{3}\)√3
sec 60° = \(\mathrm{\frac{1}{cos\,60^{\circ}}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{2}}}\) = 2
cot 60° = \(\mathrm{\frac{1}{tan\,60^{\circ}}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{3}}}\) = \(\frac{1}{3}\)√3
Contoh 2
Tentukan panjang BD dan besar sudut C pada bangun berikut!
Jawab :
Perhatikan segitiga ABD
sin 45° = \(\mathrm{\frac{BD}{AD}}\)
BD = AD × sin 45°
BD = 6 × \(\frac{1}{2}\)√2
BD = 3√2
diperoleh BD = 3√2 m
Perhatikan segitiga BCD
tan C = \(\mathrm{\frac{BD}{CD}}\)
tan C = \(\mathrm{\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}}\)
tan C = √3
diperoleh tan C = √3
berdasarkan tabel, maka C = 60°
Contoh 3
Jika sin(A−B) = cos(A+B) = \(\frac{1}{2}\) dan \(\mathrm{0^{\circ}<A+B<90^{\circ}}\), tentukan nilai dari csc(2B) − tan(A)
Jawab :
Karena 0° < A + B < 90°, maka A dan B adalah sudut lancip.
sin(A − B) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ A − B = 30° .......................(1)
cos(A + B) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ A + B = 60° .......................(2)
Dengan menggunkan metode eliminasi atau substitusi pada persamaan (1) dan (2) diperoleh
A = 45°
B = 15°
csc(2B) − tan(A) = csc(2. 15°) − tan(45°)
csc(2B) − tan(A) = csc(30°) − tan(45°)
csc(2B) − tan(A) = 2 − 1
csc(2B) − tan(A) = 1
EmoticonEmoticon