Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 30° 45° dan 60°

Untuk menghitung nilai perbandingan trigonometri suatu sudut, dibutuhkan alat bantu seperti kalkulator ataupun tabel trigonometri. Namun, ada sudut-sudut tertentu yang dapat dengan mudah kita tentukan nilai fungsinya tanpa harus menggunakan alat bantu seperti diatas. Sudut-sudut inilah yang sering kita sebut dengan sudut-sudut istimewa.

Sudut 45°

Diberikan sebuah persegi ABCD dengan panjang sisi a. Diagonal AC akan membagi ∠A dan ∠C sama besar, masing-masing 45°.

Dengan Phytagoras akan diperoleh
AC = $\sqrt{a^{2}+a^{2}}$ = $a\sqrt{2}$

Perhatikan segitiga ABC, untuk ∠A = 45° maka
sin(45°) = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{a}{a\sqrt{2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
cos(45°) = $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{a}{a\sqrt{2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ = $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
tan(45°) = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{a}{a}$ = 1

Sudut 30° dan 60°

Diberikan segitiga sama sisi ABC dengan panjang sisi 2a. Titik D terletak ditengah AB, sehingga CD membagi ∠C sama besar, masing-masing 30°.

Dengan Phytagoras akan diperoleh
CD = $\sqrt{\left ( 2a \right )^{2}-a^{2}}$ = a$\sqrt{3}$

Perhatikan segitiga ACD
sin(30°) = $\mathrm{\frac{AD}{AC}}$ = $\frac{a}{2a}$ = $\frac{1}{2}$
cos(30°) = $\mathrm{\frac{CD}{AC}}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{2a}$ = $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
tan(30°) = $\mathrm{\frac{AD}{CD}}$ = $\frac{a}{a\sqrt{3}}$ = $\frac{1}{3}\sqrt{3}$

sin(60°) = $\mathrm{\frac{CD}{AC}}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{2a}$ = $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
cos(60°) = $\mathrm{\frac{AD}{AC}}$ = $\frac{a}{2a}$ = $\frac{1}{2}$
tan(60°) = $\mathrm{\frac{CD}{AD}}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{a}$ = $\sqrt{3}$


Berikut nilai-nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa yang disajikan dalam bentuk tabel.

	30°	45°	60°
sin(θ)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$√2	$\frac{1}{2}$√3
cos(θ)	$\frac{1}{2}$√3	$\frac{1}{2}$√2	$\frac{1}{2}$
tan(θ)	$\frac{1}{3}$√3	1	√3

Gunakan tabel diatas untuk menyelesaikan contoh-contoh soal berikut.

Contoh 1
Tentukan nilai dari csc θ, sec θ dan cot θ, untuk θ = 30°, 45°, 60°

Jawab :
csc 30° = $\mathrm{\frac{1}{sin\,30^{\circ}}}$ = $\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{2}}}$ = 2
sec 30° = $\mathrm{\frac{1}{cos\,30^{\circ}}}$ = $\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}}$ = $\frac{2}{3}$√3
cot 30° = $\mathrm{\frac{1}{tan\,30^{\circ}}}$ = $\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{3}\sqrt{3}}}$ = √3

csc 45° = $\mathrm{\frac{1}{sin\,45^{\circ}}}$ = $\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}}$ = √2
sec 45° = $\mathrm{\frac{1}{cos\,45^{\circ}}}$ = $\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}}$ = √2
cot 45° = $\mathrm{\frac{1}{tan\,45^{\circ}}}$ = $\mathrm{\frac{1}{1}}$ = 1

csc 60° = $\mathrm{\frac{1}{sin\,60^{\circ}}}$ = $\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{3}}}$ = $\frac{2}{3}$√3
sec 60° = $\mathrm{\frac{1}{cos\,60^{\circ}}}$ = $\mathrm{\frac{1}{\frac{1}{2}}}$ = 2
cot 60° = $\mathrm{\frac{1}{tan\,60^{\circ}}}$ = $\mathrm{\frac{1}{\sqrt{3}}}$ = $\frac{1}{3}$√3


Contoh 2
Tentukan panjang BD dan besar sudut C pada bangun berikut!

Jawab :
Perhatikan segitiga ABD
sin 45° = $\mathrm{\frac{BD}{AD}}$
BD = AD × sin 45°
BD = 6 × $\frac{1}{2}$√2
BD = 3√2

diperoleh BD = 3√2 m

Perhatikan segitiga BCD
tan C = $\mathrm{\frac{BD}{CD}}$
tan C = $\mathrm{\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}}$
tan C = √3

diperoleh tan C = √3
berdasarkan tabel, maka C = 60°


Contoh 3
Jika sin(A−B) = cos(A+B) = $\frac{1}{2}$ dan $\mathrm{0^{\circ}<A+B<90^{\circ}}$, tentukan nilai dari csc(2B) − tan(A)

Jawab :
Karena 0° < A + B < 90°, maka A dan B adalah sudut lancip.

sin(A − B) = $\frac{1}{2}$
⇒ A − B = 30° .......................(1)

cos(A + B) = $\frac{1}{2}$
⇒ A + B = 60° .......................(2)

Dengan menggunkan metode eliminasi atau substitusi pada persamaan (1) dan (2) diperoleh
A = 45°
B = 15°

csc(2B) − tan(A) = csc(2. 15°) − tan(45°)
csc(2B) − tan(A) = csc(30°) − tan(45°)
csc(2B) − tan(A) = 2 − 1
csc(2B) − tan(A) = 1