Pembuktian Aturan Sinus dan Aturan Cosinus

Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sisinya a, b dan c dengan
A adalah sudut di depan sisi a
B adalah sudut di depan sisi b
C adalah sudut di depan sisi c

berlaku $$\mathrm{\frac{\mathit{a}}{sin\,A}=\frac{\mathit{b}}{sin\,B}=\frac{\mathit{c}}{sin\,C}}$$
Bukti :

Perhatikan segitiga ACD ⊥ D
Sin A = \(\mathrm{\frac{CD}{AC}}\)
CD = AC. sin A
CD = b. sin A  ........................(i)

Perhatikan segitiga BCD ⊥ D
Sin B = \(\mathrm{\frac{CD}{BC}}\)
CD = BC. sin B
CD = a. sin B  ........................(ii)

Dari (i) dan (ii)
b. sin A = a. sin B
atau dapat ditulis $$\mathrm{\frac{\mathit{a}}{sin\,A}=\frac{\mathit{b}}{sin\,B}\;\;......(1)}$$
Perhatikan segitiga ABE ⊥ E
Sin B = \(\mathrm{\frac{AE}{AB}}\)
AE = AB. sin B
AE = c. sin B  ........................(i)

Perhatikan segitiga ACE ⊥ E
Sin C = \(\mathrm{\frac{AE}{AC}}\)
AE = AC. sin C
AE = b. sin C  ........................(ii)

Dari (i) dan (ii)
c. sin B = b. sin C
atau dapat ditulis $$\mathrm{\frac{\mathit{b}}{sin\,B}=\frac{\mathit{c}}{sin\,C}\;\;......(2)}$$
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan $$\mathrm{\frac{\mathit{a}}{sin\,A}=\frac{\mathit{b}}{sin\,B}=\frac{\mathit{c}}{sin\,C}}$$


Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sisinya a, b dan c, dengan C adalah sudut di depan sisi c, berlaku $$\mathrm{\mathit{c}^{2}=\mathit{a}^{2}+\mathit{b}^{2}-2\mathit{ab}.\,cos\,C}$$
Bukti :

Perhatikan segitiga ACD ⊥ D
AD² = AC² − CD²
AD² = b² − x²  .........................(1)

cos C = \(\mathrm{\frac{CD}{AC}}\) = \(\mathrm{\frac{x}{b}}\)
x = b. cos C  .............................(2)

Perhatikan segitiga ABD ⊥ D
AD² = AB² − BD²
AD² = c² − (a − x)²  ................(3)

Dari persamaan (1) dan (3)
c² − (a − x)² = b² − x²
c² − (a² − 2ax + x²) = b² − x²
c² − a² + 2ax − x² = b² − x²
c² = a² + b² − 2ax  ...................(4)

Substitusi (2) ke (4)
c² = a² + b² − 2a(b. cos C)

diperoleh $$\mathrm{\mathit{c}^{2}=\mathit{a}^{2}+\mathit{b}^{2}-2\mathit{ab}.\,cos\,C}$$