Matriks Transformasi Geometri

Misalkan peta titik A(x, y) oleh transformasi T adalah A'(x', y'). Matriks \(\mathrm{M}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) kita sebut dengan matriks yang bersesuaian dengan transformasi T jika memenuhi persamaan matriks berikut $$\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$$

Matriks Refleksi (Pencerminan)

Misalkan peta titik A(x, y) oleh pencerminan terhadap pusat O adalah A'(x', y'). Perhatikan gambar berikut :

Berdasarkan gambar diatas, koordinat A'(x', y') dapat kita tulis dalam persamaan
x' = -x    ⇔   x' = (-1)x + (0)y
y' = -y    ⇔   y' = (0)x + (-1)y

Dalam persamaan matriks kita tulis
$$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}$$Jadi, matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap pusat O adalah $$\mathrm{M_{O}}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}$$
Dengan cara yang sama seperti diatas, akan diperoleh matriks-matriks pencerminan lainnya sebagai berikut :

Matriks pencerminan terhadap sumbu x
\(\mathrm{M_{x}}=\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\)

Matriks pencerminan terhadap sumbu y
\(\mathrm{M_{y}}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\)

Matriks pencerminan terhadap garis y = x
\(\mathrm{M_{y=x}}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\)

Matriks pencerminan terhadap garis y = -x
\(\mathrm{M_{y=-x}}=\begin{bmatrix}
0 & -1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\)



 Contoh 1 
Peta titik A(2, 3) oleh pencerminan terhadap garis y = x adalah ...

Jawab :
\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 3

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3\\ 2

\end{bmatrix}\)

Jadi, peta titik A adalah A'(3, 2)


 Contoh 2 
Bayangan titik P jika dicerminkan terhadap sumbu x adalah (4, -2 ). Koordinat titik P adalah ...

Jawab :
\(\begin{bmatrix}
{\color{white} -}4\\ -2

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & {\color{white} -}0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
{\color{white} -}4\\ -2

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{white} -}x\\ -y

\end{bmatrix}\)

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
4 = x       →  x = 4
-2 = -y    →  y = 2

Jadi, koordinat titik P adalah (4, 2)


 Contoh 3 
Bayangan garis 2x + y - 3 = 0 jika dicerminkan terhadap pusat O adalah ...

Jawab :
\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-x\\ -y

\end{bmatrix}\)

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x' = -x  →  x = -x'
y' = -y  →  y = -y'

Substitusi x = -x' dan y = -y' ke garis 2x + y - 3 = 0
2(-x') + (-y') - 3 = 0
-2x' - y' - 3 = 0
2x' + y' + 3 = 0

Jadi, bayangannya adalah 2x + y + 3 = 0

Matriks Rotasi (Perputaran)

Misalkan peta titik A(x, y) oleh rotasi dengan pusat O sejauh θ adalah A'(x', y'). Perhatikan gambar berikut

Dari segitiga siku-siku OBA diperoleh
x = r cos α
y = r sin α 

Dari segitiga siku-siku OCA' diperoleh
x' = r cos (α + θ )
x' = r (cos α cos θ - sin α sin θ)
x' = r cos α cos θ - r sin α sin θ
x' = x cos θ - y sin θ

y' = r sin (α + θ )
y' = r (sin α cos θ + cos α sin θ)
y' = r sin α cos θ + r cos α sin θ
y' = y cos θ + x sin θ
y' = x sin θ + y cos θ

Diperoleh
x' = x cos θ - y sin θ
y' = x sin θ + y cos θ

Dalam persamaan matriks kita tulis $$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\;\theta  & -sin\;\theta \\
sin\;\theta  & cos\;\theta
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}$$
Jadi, matriks yang bersesuaian dengan rotasi terhadap pusat O sebesar θ adalah $$\mathrm{M_{[O,\;\theta ]}}=\begin{bmatrix}
cos\;\theta  & -sin\;\theta\\
sin\;\theta & cos\;\theta
\end{bmatrix}$$

 Contoh 4 
Titik A(-4, 3) dipetakan oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90° searah jarum jam. Peta titik A adalah ...

Jawab :
Searah jarum jam berarti θ = -90°

Ingat :
sin (-θ) = - sin θ
cos (-θ) = cos θ

\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\,(-90^{\circ})  & -sin\,(-90^{\circ})\\
sin\,(-90^{\circ}) & cos\,(-90^{\circ})
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-4\\ 3

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0  & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
-4\\ 3

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3\\ 4

\end{bmatrix}\)

Jadi, peta titik A adalah A'(3, 4)


 Contoh 5 
Bayangan garis y = 2x + 1 oleh rotasi dengan pusat O sebesar 180° adalah ...

Jawab :
\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\,180^{\circ} & -sin\,180^{\circ}\\
sin\,180^{\circ} & cos\,180^{\circ}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-x\\ -y

\end{bmatrix}\)

Dari persamaan matriks diatas diperoleh
x' = -x   →  x = -x'
y' = -y   →  y = -y'

Substitusi x = -x' dan y = -y' ke garis y = 2x + 1
-y' = 2(-x') + 1
-y' = -2x' + 1
y' = 2x' - 1

Jadi, bayangannya adalah y = 2x - 1


Misalkan peta titik A(x, y) oleh rotasi dengan pusat P(a, b) sejauh θ adalah A'(x', y'). Perhatikan gambar berikut :

Dari segitiga siku-siku PBA diperoleh
x - a = r cos α
y - b = r sin α

Dari segitiga siku-siku PCA' diperoleh
x' - a = r cos (α + θ)
x' - a = r (cos α cos θ - sin α sin θ)
x' - a = r cos α cos θ - r sin α sin θ
x' - a = (x - a) cos θ - (y - b) sin θ

y' - b = r sin (α + θ)
y' - b = r (sin α cos θ + cos α sin θ)
y' - b = r sin α cos θ + r cos α sin θ
y' - b = (y - b) cos θ + (x  - a) sin θ
y' - b = (x - a) sin θ + (y  - b) cos θ

Diperoleh
x' - a = (x - a) cos θ - (y - b) sin θ
y' - b = (x - a) sin θ + (y - b) cos θ

Dalam persamaan matriks kita tulis $$\begin{bmatrix}
x'-\mathrm{a}\\ y'-b

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\;\theta  & -sin\;\theta \\
sin\;\theta  & cos\;\theta
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-\mathrm{a}\\ y-b

\end{bmatrix}$$

 Contoh 6 
Persamaan bayangan parabola  y = x² + 2x + 1 jika dirotasi dengan pusat P(2, -3) sejauh 270° adalah ...

Jawab :
\(\begin{bmatrix}
x'-2\\ y'+3

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
cos\,270^{\circ} & -sin\,270^{\circ}\\
sin\,270^{\circ} & cos\,270^{\circ}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-2\\ y+3

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x'-2\\ y'+3

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-2\\ y+3

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x'-2\\ y'+3

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
y+3\\ -x+2

\end{bmatrix}\)

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x' - 2 = y + 3     →  y = x' - 5
y' + 3 = -x + 2   →  x = -y' - 1

Substitusi x dan y ke parabola y = x² + 2x + 1
x' - 5 = (-y' - 1)² + 2(-y' - 1) + 1
x' - 5 = (y')² + 2y' + 1 - 2y' - 2 + 1
x' - 5 =  (y')²
(y')² = x' - 5

Jadi, persamaan bayangannya adalah y² = x - 5

Matriks Dilatasi (Perkalian)

Misalkan peta titik A(x, y) oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala k adalah A'(x', y'). Perhatikan gambar berikut :

Sebagai catatan, titik A'(x', y') dapat berada disepanjang garis m, tergantung nilai k.

Berdasarkan gambar diatas, koordinat A'(x', y') dapat kita tulis dalam persamaan
x' = kx    ⇔  x' = kx + 0y
y' = ky    ⇔  y' = 0x + ky

Dalam persamaan matrik kita tulis $$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}$$ dengan matriks dilatasinya $$\mathrm{M_{[O,\;k]}}=\begin{bmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{bmatrix}$$ Untuk pusat (a, b), persamaan matriksnya adalah $$\begin{bmatrix}
x'-\mathrm{a}\\ y'-b

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-\mathrm{a}\\ y-b

\end{bmatrix}$$

 Contoh 7 
Persamaan bayangan lingkaran x² + y² = 5 oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 2 adalah ...

Jawab :
\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2x\\ 2y

\end{bmatrix}\)

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x' = 2x   →  x = \(\frac{1}{2}\)x'
y' = 2y   →  y = \(\frac{1}{2}\)y'

Substitusi x dan y ke persamaan x² + y² = 5
(\(\frac{1}{2}\)x')² + (\(\frac{1}{2}\)y')² = 5
\(\frac{1}{4}\)(x')² + \(\frac{1}{4}\)(y')² = 5   (kali 4)
(x')² + (y')² = 20

Jadi, bayangannya adalah x² + y² = 20


 Contoh 8 
Peta titik R(1, 3) oleh dilatasi dengan pusat (-2, 4) dan faktor skala -2 adalah ...

Jawab :
Titik R : (x, y) = (1, 3)
Pusat dilatasi : (a, b) = (-2, 4)
Faktor skala : k = -2
Peta titik R : (x', y') = ?

Persamaan matriksnya
\(\begin{bmatrix}
x'-\mathrm{a}\\ y'-b

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
k & 0\\
0 & k
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x-\mathrm{a}\\ y-b

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x'+2\\ y'-4

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-2 & 0\\
0 & -2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1+2\\ 3-4

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x'+2\\ y'-4

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-2 & 0\\
0 & -2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3\\ -1

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x'+2\\ y'-4

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-6\\ 2

\end{bmatrix}\)

Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x' + 2 = -6   →   x' = -8
y' - 4 = 2       →   y' = 6

Jadi, peta titik R adalah R'(-8, 6)

Cara lain menemukan matriks transformasi

Jika titik A(1, 0) dan B(0, 1) kita tuliskan sebagai matriks kolom, akan kita peroleh matriks identitas, yaitu : $$\mathrm{I}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} 1} & {\color{Red} 0}\\
{\color{Green} 0} & {\color{Red} 1}
\end{bmatrix}$$
Hal yang menarik adalah, titik A dan B ini dapat kita gunakan untuk menemukan matriks yang bersesuaian dengan transformasi tertentu, seperti pencerminan ataupun perputaran.

Perhatikan gambar berikut :

Bayangan titik A dan B oleh pencerminan terhadap pusat O adalah A'(-1, 0) dan B'(0, -1). Jika bayangannya ini kita susun menjadi matriks kolom, akan diperoleh matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap pusat O, yaitu : $$\mathrm{M_{O}}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} -1} & {\color{Red} 0}\\
{\color{Green} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}$$
Bayangan titik A dan B oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah A'(1, 0) dan B'(0, -1). $$\mathrm{M_{x}}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} 1} & {\color{Red} 0}\\
{\color{Green} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}$$
Bayangan titik A dan B oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90° adalah A'(0, 1) dan B'(-1, 0). $$\mathrm{M_{[O,90^{\circ}]}}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} 0} & {\color{Red} -1}\\
{\color{Green} 1} & {\color{Red} 0}
\end{bmatrix}$$
Untuk matriks-mariks transformasi lainnya dapat kita peroleh dengan cara yang sama, yaitu transformasikan titik A dan B, kemudian nyatakan bayangannya sebagai matriks kolom.

Matriks yang bersesuaian dengan dua transformasi berurutan

Misalkan  \(\mathrm{M_{1}}=\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}\) adalah matriks yang bersesuaian dengan transformasi T₁ dan \(\mathrm{M_{2}}=\begin{bmatrix}
e & f\\
g & h
\end{bmatrix}\) adalah matriks yang bersesuaian dengan transformasi T₂ . Jika A'(x', y') adalah hasil pemetaan titik A(x, y) oleh transformasi T₁ dan dilanjutkan transformasi T₂ , ditulis T₂ o T₁ , maka peta titik A dapat dinyatakan dalam persamaan matriks berikut $$\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
e & f\\
g & h
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}$$ dengan matriks transformasinya $$\mathrm{M_{\left [T_{2}\,o\,T_{1}  \right ]}}=\begin{bmatrix}
e & f\\
g & h
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}$$
Catatan : Urutan perkalian matriksnya harus diperhatikan, karena pada perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif.


 Contoh 9 
Diketahui T₁ adalah transformasi pencerminan terhadap sumbu x dan  T₂ adalah transformasi rotasi dengan pusat O sejauh 90°. Tentukan bayangan titik A(2, 5) oleh transformasi :
a.  T₂ o T₁
b.  T₁ o T₂

Jawab :
M₁ = \(\begin{bmatrix}
{\color{Red} 1} & {\color{white} -}{\color{Red} 0}\\
{\color{Red} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}\)   dan    M₂ = \(\begin{bmatrix}
{\color{Green} 0} & {\color{Green} -1}\\
{\color{Green} 1} & {\color{white} -}{\color{Green} 0}
\end{bmatrix}\)

a.  T₂ o T₁  (T₁ dilanjutkan T₂)

\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{Green} 0} & {\color{Green} -1}\\
{\color{Green} 1} & {\color{white} -}{\color{Green} 0}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
{\color{Red} 1} & {\color{white} -}{\color{Red} 0}\\
{\color{Red} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 5

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 5

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
5\\ 2

\end{bmatrix}\)

Jadi, bayangan titik A oleh trasformasi T₂ o T₁ adalah A'(5, 2).

b.  T₁ o T₂  (T₂ dilanjutkan T₁)

\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{Red} 1} & {\color{white} -}{\color{Red} 0}\\
{\color{Red} 0} & {\color{Red} -1}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
{\color{Green} 0} & {\color{Green} -1}\\
{\color{Green} 1} & {\color{white} -}{\color{Green} 0}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 5

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{white} -}0 & -1\\
-1 & {\color{white} -}0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\ 5

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-5\\ -2

\end{bmatrix}\)

Jadi, bayangan titik A oleh trasformasi T₁ o T₂ adalah A'(-5, -2).


 Contoh 10 
Persamaan bayangan garis x + y = 1 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks \(\begin{bmatrix}
{\color{white} -}1\; & 0\;\\
-2\; & 1\;
\end{bmatrix}\) dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 4 adalah ...

Jawab :
\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 & 0\\
0 & 4
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
{\color{white} -}1 & 0\\
-2 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{white} -}4 & 0\\
-8 & 4
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}\)

Jika diagonal matriks transformasinya tidak nol seperti kasus diatas, akan lebih mudah menggunakan sifat invers matriks dalam menentukan  x dan y.

\(\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
{\color{white} -}4 & 0\\
-8 & 4
\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{4} & 0\\
\frac{1}{2} & \frac{1}{4}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x'\\ y'

\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}
x\\ y

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{4}x'\\ \frac{1}{2}x'+\frac{1}{4}y'

\end{bmatrix}\)

dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x = \(\frac{1}{4}\)x'
y = \(\frac{1}{2}\)x' + \(\frac{1}{4}\)y'

Substitusi x dan y ke garis x + y = 1
\(\frac{1}{4}\)x' + \(\frac{1}{2}\)x' + \(\frac{1}{4}\)y' = 1   (kali 4)
x' + 2x' + y' = 4
3x' + y' = 4

Jadi, bayangannya adalah 3x + y = 4