Limit di tak hingga merupakan kajian yang tepat untuk mengetahui kecendrungan suatu fungsi jika nilai variabelnya dibuat semakin besar. Kita katakan, x menuju tak hingga, ditulis x → ∞, artinya nilai x semakin besar atau bertambah besar tanpa batas.
Diberikan sebuah fungsi f(x) = 1/x2. Apa yang terjadi dengan fungsi f(x), jika nilai x semakin besar ? Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita amati nilai fungsi f(x) untuk nilai-nilai x berikut.
x = 1 → f(x) = 1
x = 10 → f(x) = 0,01
x = 100 → f(x) = 0,0001
x = 1000 → f(x) = 0,000001
...
Dari data diatas dapat kita lihat bahwa nilai f(x) semakin mendekati 0, ketika x semakin besar. Sekarang coba perhatikan grafik fungsinya.
Jelas terlihat bahwa kurva y = 1/x2 semakin mendekati garis y = 0, ketika x semakin besar. Faktanya, seberapa besarpun x yang kita ambil, nilai 1/x2 akan semakin dekat ke 0.
Secara intuitif kita simpulkan, jika x semakin besar tanpa batas, nilai 1/x2 semakin dekat ke 0. Dalam notasi limit, pernyataan ini ditulis $$\mathrm{\lim_{x \to \infty }\;\frac{1}{x^{2}}=0}$$
Sekarang coba kita amati nilai fungsi f(x) = 1/x2 untuk nilai-nilai x berikut.
x = -1 → f(x) = 1
x = -10 → f(x) = 0,01
x = -100 → f(x) = 0,0001
x = -1000 → f(x) = 0,000001
Dari data diatas dapat kita lihat bahwa f(x) = 1/x2 juga semakin dekat ke 0, ketika x semakin kecil (negatif besar). Kita tulis $$\mathrm{\lim_{x \to -\infty }\;\frac{1}{x^{2}}=0}$$
Nilai fungsi f(x) tidak selalu mendekati bilangan tertentu, ketika x semakin besar. Bisa saja nilai f(x) justru semakin besar dan terus bertambah besar tanpa batas. Untuk kasus seperti ini, kita tulis $$\mathrm{\lim_{x \to \infty }\;f(x)=\infty}$$ artinya jika nilai x semakin besar tanpa batas, maka nilai f(x) juga semakin besar tanpa batas. Limit seperti ini disebut limit tak hingga di tak hingga.
Contoh 1
Tentukan \(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }x^{2}}
\end{align}\)
Jawab :
Misalkan f(x) = x2
x = 1 → f(x) = 1
x = 10 → f(x) = 100
x = 100 → f(x) = 10000
...
Seperti yang kita lihat, ketika x semakin besar, nilai x2 juga semakin besar, namun tidak mendekati suatu bilangan unik tertentu, melainkan terus bertambah besar tanpa batas. Kita simpulkan \(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }x^{2}=\infty}
\end{align}\)
Perlu diketahui, teorema limit dasar masih bisa kita terapkan pada limit di tak hingga. Namun, untuk kasus-kasus yang melibatkan bentuk tak tentu, seperti (∞ - ∞), (∞/∞) atau (0.∞), perlu dilakukan manipulasi aljabar terlebih dahulu.
Sifat A Jika n > 0 dan n bilangan rasional, maka
- \(\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \infty }\frac{1}{x^{n}}=0 }\end{align}\)
- \(\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to -\infty }\frac{1}{x^{n}}=0,\;\; }\end{align}\) xn terdefinisi untuk x < 0
Contoh 2
Hitung \(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\left ( x^{3}-7x^{2} \right )}
\end{align}\)
Jawab :
Faktorkan suku pangkat tertinggi dari polinom tersebut, kemudian hitung limit dari masing-masing faktor dengan berpedoman pada sifat A.
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\left ( x^{3}-7x^{2} \right )}
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,x^{3}\left ( 1-\frac{7}{x} \right )} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,x^{3}\cdot \lim_{x \to \infty }\left ( 1-\frac{7}{x} \right )} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,x^{3}\cdot \left ( 1-0 \right )} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,x^{3}} \\
& = \infty
\end{align}\)
Contoh 3
Tentukan \(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-4x}{3x^{3}+x^{2}}}
\end{align}\)
Jawab :
Bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu x3, kemudian hitung limit dari masing-masing suku dengan berpedoman pada sifat A.
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-4x}{3x^{3}+x^{2}}}
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{\frac{x^{3}-4x}{x^{3}}}{\frac{3x^{3}+x^{2}}{x^{3}}}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{1-\frac{4}{x^{2}}}{3+\frac{1}{x}}} \\
& = \frac{1-0}{3+0} \\
& = \frac{1}{3}
\end{align}\)
Contoh 4
Hitung \(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-x}{x^{4}-2x^{2}+1}}
\end{align}\)
Jawab :
Bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu x4, kemudian hitung limitnya.
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-x}{x^{4}-2x^{2}+1}}
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{\frac{x^{3}-x}{x^{4}}}{\frac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{4}}}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{3}}}{1-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{4}}}} \\
& = \frac{0-0}{1-0+0} \\
& = 0
\end{align}\)
Contoh 5
Tentukan \(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x-x^{3}}{x^{2}-4}}
\end{align}\)
Jawab :
Bagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu x2, kemudian hitung limitnya.
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x-x^{3}}{x^{2}-4}}
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{\frac{x-x^{3}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}-4}{x^{2}}}} \\
& = \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{\frac{1}{x}-x}{1-\frac{4}{x^{2}}}} \\
& = \mathrm{\frac{_{x \to \infty}^{lim}\,\frac{1}{x}-\;_{x \to \infty}^{lim}\,x}{_{x \to \infty}^{lim}\,1-\;_{x \to \infty}^{lim}\,\frac{4}{x^{2}}}} \\
& = \mathrm{\frac{0-\;_{x \to \infty}^{lim}\,x}{1-0}} \\
& = -\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,x} \\
& = -\infty
\end{align}\)
Contoh 6
Untuk n bilangan asli dan a0 ≠ 0, tunjukkan bahwa
\(\begin{align}
\lim_{x \to \infty }\left ( a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}\,+...+\,a_{n-1}x+a_{n} \right )=\lim_{x \to \infty }a_{0}x^{n}
\end{align}\)
Jawab :
Faktorkan suku pangkat tertinggi dari fungsi polinom tersebut, kemudian hitung limitnya.
\(\begin{align}
& \lim_{x \to \infty }\left ( a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}\,+\,...\,+\,a_{n-1}x+a_{n} \right )\\
\Leftrightarrow & \lim_{x \to \infty }a_{0}x^{n}\left ( 1+\frac{a_{1}}{a_{0}x}\,+\,...\,+\,\frac{a_{n-1}}{a_{0}x^{n-1}}+\frac{a_{n}}{a_{0}x^{n}} \right )\\
\Leftrightarrow & \lim_{x \to \infty }a_{0}x^{n}\cdot \lim_{x \to \infty }\left ( 1+\frac{a_{1}}{a_{0}x}\,+\,...\,+\,\frac{a_{n-1}}{a_{0}x^{n-1}}+\frac{a_{n}}{a_{0}x^{n}} \right )\\
\Leftrightarrow & \lim_{x \to \infty }a_{0}x^{n}\cdot(1+0\,+\,...\,+\,0+0) \\
\Leftrightarrow & \lim_{x \to \infty }a_{0}x^{n}
\end{align}\)
Sifat B Jika p(x) dan q(x) adalah fungsi polinom dengan axm dan bxn berturut-turut adalah suku pangkat tertinggi dari p(x) dan q(x), maka
1. \(\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \pm \infty }\,p(x)=\lim_{x \to \pm \infty }\,ax^{m}}\end{align}\)
2. \(\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \pm \infty }\,q(x)=\lim_{x \to \pm \infty }\,bx^{n}}\end{align}\)
3. \(\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \pm \infty }\,\frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x \to \pm \infty }\,\frac{ax^{m}}{bx^{n}} }\end{align}\)
Sifat diatas mengatakan bahwa nilai limit di tak hingga fungsi polinom ataupun rasional sama dengan nilai limit dari suku pangkat tertingginya. Dengan menggunakan sifat diatas, contoh 2 - 5 dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut.
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\left ( x^{3}-7x^{2} \right ) = \lim_{x \to \infty }\,x^{3}=\infty }
\end{align}\)
\(\begin{align}
& \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-4x}{3x^{3}-x^{2}}=\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}}{3x^{3}}=\lim_{x \to \infty }\,\frac{1}{3}=\frac{1}{3}}
\end{align}\)
\(\begin{align}
& \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-x}{x^{4}-2x^{2}+1}=\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}}{x^{4}}=\lim_{x \to \infty }\,\frac{1}{x}=0}
\end{align}\)
\(\begin{align}
& \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x-x^{3}}{x^{2}-4}=\lim_{x \to \infty }\,\frac{-x^{3}}{x^{2}}=\lim_{x \to \infty }\,(-x)=-\infty }
\end{align}\)
Berdasarkan pangkat tertinggi pembilang dan penyebutnya, sifat B.3 dapat kita jabarkan lagi menjadi sebagai berikut.
Sifat C Misalkan p(x) dan q(x) adalah fungsi polinom dengan axm dan bxn berturut-turut adalah suku pangkat tertinggi dari p(x) dan q(x).
- Jika m = n maka
- Jika m < n maka
- Jika m > n maka
\(\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \pm \infty }\,\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{a}{b}}\end{align}\)
\(\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \pm \infty }\,\frac{p(x)}{q(x)}=0 }\end{align}\)
\(\begin{align} \mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{p(x)}{q(x)}=\left\{\begin{matrix}{\color{white} -}\infty,\;\;\;\mathrm{\frac{a}{b}>0} \\ -\infty ,\;\;\;\mathrm{\frac{a}{b}<0}\end{matrix}\right. }\end{align}\)
Sifat diatas dapat kita terjemahkan dalam tiga poin berikut.
- Jika pangkat tertinggi pembilang = pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya adalah koefisien pangkat tertinggi pembilang dibagi koefisien pangkat tertinggi penyebut.
- Jika pangkat tertinggi pembilang < pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya = 0.
- Jika pangkat tertinggi pembilang > pangkat tertinggi penyebut, nilai limitnya = ∞ (asalkan perbandingan koefisiennya positif) atau -∞ (asalkan perbandingan koefisiennya negatif)
Dengan menggunakan sifat C, contoh 2, 3 dan 4 dapat diselesaikan cukup dengan memperhatikan suku pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebut, dalam hal ini adalah pangkat dan koefisiennya.
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-4x}{3x^{3}-x^{2}}=\frac{1}{3}}
\end{align}\)
Keterangan : Pangkat tertinggi pembilang sama dengan pangkat tertinggi penyebut. Berdasarkan sifat C.1, nilai limitnya adalah koefisien pangkat tertinggi pembilang dibagi koefisien pangkat tertinggi penyebut, yaitu 1/3.
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x^{3}-x}{x^{4}-2x^{2}+1}=0}
\end{align}\)
Keterangan : Pangkat tertinggi pembilang < pangkat tertinggi penyebut. Berdasarkan sifat C.2, nilai limitnya = 0.
\(\begin{align}
\mathrm{\lim_{x \to \infty }\,\frac{x-x^{3}}{x^{2}-4}=-\infty}
\end{align}\)
Keterangan : Pangkat tertinggi pembilang > pangkat tertinggi penyebut dan perbandingan koefisiennya negatif. Berdasarkan sifat C.3, nilai limitnya = -∞.
Penyelesaian limit di tak hingga fungsi irasional (memuat fungsi irasional) hampir sama saja dengan fungsi polinom atau rasional. Sifat-sifat diatas masih dapat kita gunakan. Yang perlu kita cermati adalah saat bekerja dengan limit untuk x → -∞.
Perlu kita ingat !
Jika \(x>0\) maka \(\sqrt{x^{2}}=x\)
Jika \(x<0\) maka \(\sqrt{x^{2}}=-x\)
Secara umum, dapat dinyatakan sebagai berikut !
1. Untuk n > 0 dan n ganjil maka
\(\begin{align}
\sqrt{x^{2n}}=\left\{\begin{matrix}
{\color{white} -}x^{n}\,,\;\;\;x>0\\-x^{n}\,,\;\;\;x<0
\end{matrix}\right.
\end{align}\)
2. Untuk n > 0 dan n genap maka
\(\begin{align}
\sqrt{x^{2n}}=x^{n}\,,\;\;\;x\in \mathbb{R}
\end{align}\)
Contoh 7
Hitung limit berikut !
\(\begin{align}
& a.\;\;\lim_{x \to \infty }\frac{\sqrt{4x^{2}+3x}}{2x-1} \\
& b.\;\;\lim_{x \to -\infty }\frac{\sqrt{4x^{2}+3x}}{2x-1}
\end{align}\)
Jawab :
Untuk \(\begin{align}
x\rightarrow \infty
\end{align}\) maka \(\begin{align}
\sqrt{x^{2}}=x
\end{align}\)
Untuk \(\begin{align}
x\rightarrow -\infty
\end{align}\) maka \(\begin{align}
\sqrt{x^{2}}=-x
\end{align}\)
\(\begin{align}
a.\;\;\lim_{x \to \infty }\,\frac{\sqrt{4x^{2}+3x}}{2x-1}
& = \lim_{x \to \infty }\,\frac{\sqrt{x^{2}\left (4+\frac{3}{x} \right )}}{x\left (2-\frac{1}{x} \right )} \\
& = \lim_{x \to \infty }\,\frac{x \sqrt{4+\frac{3}{x} }}{x\left (2-\frac{1}{x} \right )} \\
& = \lim_{x \to \infty }\,\frac{ \sqrt{4+\frac{3}{x} }}{\left (2-\frac{1}{x} \right )} \\
& = \frac{\sqrt{4+0}}{2-0} \\
& =1
\end{align}\)
\(\begin{align}
b.\;\;\lim_{x \to -\infty }\,\frac{\sqrt{4x^{2}+3x}}{2x-1}
& = \lim_{x \to -\infty }\,\frac{\sqrt{x^{2}\left (4+\frac{3}{x} \right )}}{x\left (2-\frac{1}{x} \right )} \\
& = \lim_{x \to -\infty }\,\frac{-x \sqrt{4+\frac{3}{x} }}{x\left (2-\frac{1}{x} \right )} \\
& = \lim_{x \to -\infty }\,\frac{ -\sqrt{4+\frac{3}{x} }}{\left (2-\frac{1}{x} \right )} \\
& = \frac{-\sqrt{4+0}}{2-0} \\
& =-1
\end{align}\)
Contoh diatas dapat pula diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dari penyebut, yaitu x. Dengan catatan, untuk limit x→-∞, nilai \(x=-\sqrt{x^{2}}\).
Contoh 8
Hitung limit berikut !
\(\begin{align} & a.\;\;\lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-2x}\;-4x \right ) \\ & b.\;\;\lim_{x \to \infty }\left ( 2x-\sqrt{4x^{2}+x} \right ) \end{align}\)
Jawab :
Jangan terburu-buru mengalikan bentuk diatas dengan akar sekawannya. Lakukan analisa sederhana untuk memeriksa apakah limit tersebut merupakan bentuk tak tentu.
Analisa opsi a !
Jika \(x\rightarrow -\infty\), maka \(\sqrt{x^{2}-2x}\rightarrow \infty\) dan \(4x\rightarrow -\infty\).
Akibatnya, \((\sqrt{x^{2}-2x}-4x)\rightarrow \infty-(-\infty)=\infty\)
Analisa opsi b !
Jika \(x\rightarrow \infty\) maka \(2x\rightarrow \infty\) dan \(\sqrt{4x^{2}+x}\rightarrow \infty\).
Akibatnya, \((2x-\sqrt{4x^{2}+x})\rightarrow \infty-\infty\) (tak tentu)
\(\begin{align} & a.\;\;\lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-2x}\;-4x \right )=\infty \\ \end{align}\)
\(\begin{align}
b.\;\;& \lim_{x \to \infty }\left ( 2x-\sqrt{4x^{2}+x} \right ) \\
& = \lim_{x \to \infty }\left ( 2x-\sqrt{4x^{2}+x} \right )\cdot \frac{2x+\sqrt{4x^{2}+x}}{2x+\sqrt{4x^{2}+x}} \\
& = \lim_{x \to \infty }\frac{4x^{2}-(4x^{2}+x)}{2x+\sqrt{4x^{2}+x}} \\
& = \lim_{x \to \infty }\frac{-x}{2x+\sqrt{x^{2}\left (4+\frac{1}{x} \right )}} \\
& = \lim_{x \to \infty }\frac{-x}{2x+x\sqrt{4+\frac{1}{x}}} \\
& = \lim_{x \to \infty }\frac{-1}{2+\sqrt{4+\frac{1}{x}}} \\
& = \frac{-1}{2+\sqrt{4+0}} \\
& = -\frac{1}{4} \\
\end{align}\)
Contoh 9
Jika a = p dan a, p ≠ 0 tunjukkan bahwa
\(\begin{align}
& a.\lim_{x \to \infty }\left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;-\sqrt{px^{2}+qx+r} \right )=\frac{b-q}{2\sqrt{a}} \\
& b.\lim_{x \to -\infty }\left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;-\sqrt{px^{2}+qx+r} \right )=\frac{b-q}{-2\sqrt{a}}
\end{align}\)
Jawab :
\(\begin{align}
a.\;\; \lim_{x \to \infty }\left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;-\sqrt{px^{2}+qx+r} \right )
\end{align}\)
Untuk a = p bentuk diatas dapat ditulis menjadi
\(\begin{align}
\Leftrightarrow \lim_{x \to \infty }\left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;-\sqrt{ax^{2}+qx+r} \right )
\end{align}\)
Kalikan dengan akar sekawannya lalu sederhanakan sehingga diperoleh
\(\begin{align} & \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty }\frac{\left (ax^{2}+bx+c \right )-\left ( ax^{2}+qx+r \right )}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;+\sqrt{ax^{2}+qx+r}} \\ & \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty }\frac{(b-q)x+c-r}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;+\sqrt{ax^{2}+qx+r}} \\ & \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty }\frac{x\left ( b-q+\frac{c-r}{x} \right )}{\sqrt{x^{2}\left ( a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}} \right )}\;+\sqrt{x^{2}\left ( a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^{2}} \right )}} \\ & \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty }\frac{x\left ( b-q+\frac{c-r}{x} \right )}{x\sqrt{ a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}}\;+x\sqrt{ a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^{2}}}} \\ & \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty }\frac{b-q+\frac{c-r}{x} }{\sqrt{ a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}}\;+\sqrt{ a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^{2}}}} \\ & \Leftrightarrow \frac{b-q+0}{\sqrt{a+0+0}\;+\sqrt{a+0+0}}\\ & \Leftrightarrow \frac{b-q}{2\sqrt{a}}\\ \end{align}\)
\(\begin{align}
b.\;\; \lim_{x \to -\infty }\left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;-\sqrt{px^{2}+qx+r} \right )
\end{align}\)
Untuk a = p bentuk diatas dapat ditulis menjadi
\(\begin{align}
\Leftrightarrow \lim_{x \to -\infty }\left (\sqrt{ax^{2}+bx+c}\;-\sqrt{ax^{2}+qx+r} \right )
\end{align}\)
Kalikan dengan akar sekawannya, sederhanakan hingga diperoleh hasil sebagai berikut
\(\begin{align}
& \Leftrightarrow \lim_{x \to -\infty }\frac{x\left ( b-q+\frac{c-r}{x} \right )}{\sqrt{x^{2}\left ( a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}} \right )}\;+\sqrt{x^{2}\left ( a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^{2}} \right )}}
\end{align}\)
Perlu kita ingat bahwa untuk x → -∞ maka \(\begin{align}
\sqrt{x^{2}}=-x
\end{align}\). Akibatnya, bentuk diatas menjadi
\(\begin{align}
& \Leftrightarrow \lim_{x \to -\infty }\frac{x\left ( b-q+\frac{c-r}{x} \right )}{-x\sqrt{ a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}}\;-x\sqrt{ a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^{2}}}} \\
& \Leftrightarrow \lim_{x \to -\infty }\frac{b-q+\frac{c-r}{x} }{-\sqrt{ a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^{2}}}\;-\sqrt{ a+\frac{q}{x}+\frac{r}{x^{2}}}} \\
& \Leftrightarrow \frac{b-q+0}{-\sqrt{a+0+0}\;-\sqrt{a+0+0}}\\
& \Leftrightarrow \frac{b-q}{-2\sqrt{a}}\\
\end{align}\)
Contoh 10
Hitung limit berikut dengan menggunakan sifat pada contoh 9 !
\(\begin{align}
& a.\;\;\lim_{x \to \infty }\left ( 2x-1-\sqrt{4x^{2}-2x+1} \right ) \\
& b.\;\;\lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-4x}\;+x+2 \right ) \\
\end{align}\)
Jawab :
Alternatif penyelesaian : hitung limit dari suku konstan secara terpisah dan hitung limit dari suku lainnya menggunakan sifat pada contoh 9.a, dengan terlebih dahulu menyatakannya dalam bentuk akar.
\(\begin{align} a.\;\;& \lim_{x \to \infty }\left ( 2x-1-\sqrt{4x^{2}-2x+1} \right ) \\ & = \lim_{x \to \infty }\left ( 2x-\sqrt{4x^{2}-2x+1} \right )-\lim_{x \to \infty }\,1 \\ & = \lim_{x \to \infty }\left ( \sqrt{4x^{2}}\;-\sqrt{4x^{2}-2x+1} \right )-\lim_{x \to \infty }\,1 \\ & =\frac{0-(-2)}{2\sqrt{4}}\;-\;1\;\;\;\;\;\;\;(9.a) \\ & = -\frac{1}{2} \end{align}\)
\(\begin{align} b.\;\;& \lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-4x}\;+x+2 \right ) \\ & = \lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-4x}\;-(-x) \right )+\lim_{x \to -\infty }\,2 \\ & = \lim_{x \to -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}-4x}\;-\sqrt{x^{2}} \right )+\lim_{x \to -\infty }\,2 \\ & = \frac{-4-0}{-2\sqrt{1}}\;+\;2 \;\;\;\;\;\;\;( 9.b)\\ & = 4 \end{align}\)
Contoh 11
Hitung limit berikut !
\(\begin{align}
& a.\;\;\lim_{x \to \infty }\,x\,sin\,\frac{1}{x} \\
& b.\;\;\lim_{x \to \infty }\,\frac{sin\,\frac{1}{x}}{x\left (1-cos\,\frac{2}{x} \right )}
\end{align}\)
Jawab :
\(\begin{align}
& a.\;\;\lim_{x \to \infty }\,x\,sin\,\frac{1}{x} \\
\end{align}\)
Misalkan u = 1/x, maka x = 1/u
Jika x→∞ maka u→0. Akibatnya,
\(\begin{align}
\lim_{x \to \infty }\,x\,sin\,\frac{1}{x}
& = \lim_{u \to 0 }\,\frac{1}{u}\,sin\,u \\
& = \lim_{u \to 0 }\,\frac{sin\,u}{u} \\
& = 1
\end{align}\)
\(\begin{align}
& b.\;\;\lim_{x \to \infty }\,\frac{sin\,\frac{1}{x}}{x\left (1-cos\,\frac{2}{x} \right )}
\end{align}\)
Misalkan u = 1/x, maka x = 1/u
Jika x→∞ maka u→0. Akibatnya
\(\begin{align}
\lim_{x \to \infty }\,\frac{sin\,\frac{1}{x}}{x\left (1-cos\,\frac{2}{x} \right )}
& = \lim_{u \to 0 }\,\frac{sin\,u}{\frac{1}{u}\left ( 1-cos\,2u \right )} \\
& = \lim_{u \to 0 }\,\frac{u\,sin\,u}{2\,sin^{2}u} \\
& = \frac{1}{2}\cdot \lim_{u \to 0 }\,\frac{u}{sin\,u} \\
& = \frac{1}{2}\cdot 1 \\
& = \frac{1}{2}
\end{align}\)
EmoticonEmoticon