Pembahasan Soal UN Fungsi Kuadrat

Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) SMA bidang studi Matematika IPA untuk materi pembahasan  Fungsi Kuadrat yang meliputi grafik fungsi kuadrat dan menyusun fungsi kuadrat.

Grafik fungsi kuadrat
D > 0 : grafik memotong sumbu-x di dua titik
D = 0 : grafik menyinggung sumbu-x
D < 0 ; grafik tidak memotong sumbu-x
dengan D = b² − 4ac

Definit positif : a > 0 dan D < 0
Definit negatif : a < 0 dan D < 0

Menyusun Fungsi Kuadrat

1. Diketahui titik puncak (x_p, y_p) dan melalui titik (x, y). $$\mathrm{y=a(x-x_{p})^{2}+y_{p}}$$
2. Memotong sumbu-x di (x₁, 0 ) dan (x₂, 0 ) dan melalui titik (x, y). $$\mathrm{y=a(x-x_{1})(x-x_{2})}$$
3. Grafik melalui tiga titik. $$\mathrm{y=ax^{2}+bx+c}$$

1.  UN 2008
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1, 2) dan melalui titik (2, 3) adalah...
A.  y = x² − 2x + 1
B.  y = x² − 2x + 3
C.  y = x² − 2x − 1
D.  y = x² + 2x + 1
E.  y = x² − 2x − 3

Pembahasan :
Diketahui titik balik (x_p, y_p) = (1, 2)
dan melalui titik (x, y) = (2, 3)
y = a(x − x_p)² + y_p
3 = a(2 − 1)² + 2
3 = a + 2
⇒ a = 1

y = 1 (x − 1)² + 2
y = x² − 2x + 1 + 2
y = x² − 2x + 3

Jawaban : B


2.  UN 2009
Jika m > 0 dan grafik f(x) = x² − mx + 5 menyinggung garis y = 2x + 1, maka nilai m = ...
A.  −6
B.  −2
C.  6
D.  2
E.  8

Pembahasan :
Misalkan :
y₁ = x² − mx + 5
y₂ = 2x + 1

y₁ = y₂
x² − mx + 5 = 2x + 1
x² − mx − 2x + 5 − 1 = 0
x² − (m + 2)x + 4 = 0

a = 1
b = −(m + 2)
c = 4

Parabola menyinggung garis ⇒ D = 0
b² − 4ac = 0
(−(m + 2))² − 4 (1) (4) = 0
m² + 4m + 4 − 16 = 0

m² + 4m − 12 = 0

(m + 6)(m − 2) = 0

m = −6 atau m = 2

Karena m > 0, maka m = 2

Jawaban : D


3.  UN 2010
Grafik fungsi kuadrat f(x) = x² + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi adalah...
A.  −4
B.  −3
C.  0
D.  3
E.  4

Pembahasan :
Misalkan :
y₁ = x² + bx + 4
y₂ = 3x + 4

y₁ = y₂
x² + bx + 4 = 3x + 4
x² + bx − 3x = 0
x² + (b − 3)x = 0

a = 1
b = b − 3
c = 0

Parabola menyinggung garis ⇒ D = 0
b² − 4ac = 0
(b − 3)² − 4(1)(0) = 0
(b − 3)² = 0
b = 3

Jawaban : D


4.  UN 2011
Grafik y = px² + (p + 2)x − p + 4 memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah...
A.  p < −2 atau p > \(-\frac{2}{5}\)
B.  p < \(\frac{2}{5}\) atau p > 2
C.  p < 2 atau p > 10
D.  \(\frac{2}{5}\) < p < 2
E.  2 < p < 10

Pembahasan :
a = p
b = p + 2
c = −p + 4

Parabola memotong sumbu-x di dua titik :
D > 0
b² − 4ac > 0
(p + 2)² − 4(p)(−p + 4) > 0
p² + 4p + 4 + 4p² − 16p > 0
5p² − 12p + 4 > 0

Pembuat nol :
5p² − 12p + 4 = 0
(5p − 2)(p − 2) = 0
p = \(\frac{2}{5}\) atau p = 2

Pertidaksamaan bertanda ">", maka :
HP = {p < \(\frac{2}{5}\) atau p > 2}

Jawaban : B


5.  UN 2013
Nilai m yang menyebabkan fungsi kuadrat f(x) = (m + 1)x² − 2mx + m − 3 definit negatif adalah...
A.  m < \(-\frac{3}{2}\)
B.  m < −1
C.  m > \(\frac{3}{2}\)
D.  m > 1
E.  1 < m < \(\frac{3}{2}\)

Pembahasan :
a = m + 1
b = −2m
c = m − 3

Syarat definit negatif :
a < 0
m + 1 < 0
m < −1 .......................(1)

D < 0
b² − 4ac < 0
(−2m)² − 4(m + 1)(m − 3) < 0
4m² − 4(m² − 2m − 3) < 0
4m² − 4m² + 8m + 12 < 0
8m + 12 < 0
8m < −12
2m < −3
m < \(-\frac{3}{2}\) .......................(2)

Irisan (1) dan (2) :
m < \(-\frac{3}{2}\)

Jawaban : A


6.  UN 2013
Fungsi f(x) = 2x² − ax + 2 akan menjadi fungsi definit positif bila nilai a berada pada interval...
A.  a > −4
B.  a > 4
C.  −4 < a < 4
D.  4 < a < 6
E.  −6 < a < 4

Pembahasan :
a = 2
b = −a
c = 2

Syarat definit positif :
a > 0
2 > 0 (memenuhi)

D < 0
b² − 4ac < 0
(−a)² − 4(2)(2) < 0
a² − 16 < 0

Pembuat nol :
a² − 16 = 0
(a + 4)(a − 4) = 0
a = −4 atau a = 4

Pertidaksamaan bertanda "<", maka :
HP = {−4 < a < 4}

Jawaban : C


7.  UN 2016
Diketahui fungsi f(x) = (a + 1)x² − 2ax + a − 2 definit negatif. Nilai a yang memenuhi adalah...
A.  a < 2
B.  a > −2
C.  a < −1
D.  a < −2
E.  a > 1

Pembahasan :
a = a + 1
b = −2a
c = a − 2

Syarat definit negatif :
a < 0
a + 1 < 0
a < −1 ................................(1)

D < 0
b² − 4ac < 0
(−2a)² − 4(a + 1)(a − 2) < 0
4a² − 4(a² − a  − 2) < 0
4a² − 4a² + 4a  + 8 < 0
4a  + 8 < 0
4a < −8
a < −2 ..................................(2)

Irisan (1) dan (2) :
a < −2

Jawaban : D


8.  UN 2017
Jika grafik fungsi y = 2x² + (p - 1)x + 2 menyinggung sumbu X, nilai p yang memenuhi adalah ...
A.   p = 5 atau p = 2
B.   p = -5 atau p = 2
C.   p = 5 atau p = 3
D.   p = -5 atau p = 3
E.   p = 5 atau p = -3

Pembahasan :
Dari grafik fungsi diatas diperoleh :
a = 2,  b = p - 1  dan  c = 2

Grafik menyinggung sumbu X, maka D = 0.
b² − 4ac = 0
(p - 1)² − 4(2)(2) = 0
p² − 2p + 1 - 16 = 0

p² − 2p - 15 = 0

(p - 5)(p + 3) = 0

p = 5  atau  p = -3

Jawaban : E

9.  UN 2018
Diketahui grafik fungsi kuadrat seperti pada gambar. Koordinat titik potong grafik dengan sumbu x adalah

A.  (-1, 0) dan (-8, 0)
B.  (-1, 0) dan (8, 0)
C.  (1, 0) dan (-8, 0)
D.  (1, 0) dan (8, 0)
E.  (2, 0) dan (8, 0)

Pembahasan :
Diketahui titik puncak (x_p, y_p) = (9/2, -49/4)
\(\begin{align}
\mathrm{y=a\left ( x-\frac{9}{2} \right )^{2}-\frac{49}{4}\;\;\;\;\;..........(1)}
\end{align}\)

Grafik melalui titik (x, y) = (0, 8)
\(\begin{align}
8&=\mathrm{a}\left ( 0-\frac{9}{2} \right )^{2}-\frac{49}{4} \\
8&=\mathrm{\frac{81}{4}a-\frac{49}{4}} \\
32&=\mathrm{81a-49} \\
81&=\mathrm{81a} \\
\mathrm{a}&=1
\end{align}\)

Substitusi a = 1, ke persamaan (1)
\(\begin{align}
\mathrm{y}&=\mathrm{1\left ( x-\frac{9}{2} \right )^{2}-\frac{49}{4}} \\
\mathrm{y}&=\mathrm{x^{2}-9x+\frac{81}{4}-\frac{49}{4}} \\
\mathrm{y}&=\mathrm{x^{2}-9x+8} \\
\end{align}\)

Titik potong sumbu-x  →  y = 0
\(\begin{align}
0&=\mathrm{x^{2}-9x+8} \\
0&=\mathrm{(x-1)(x-8)} \\
\mathrm{x}&=1\;\;\mathrm{atau\;\;x=8}
\end{align}\)

Diperoleh titik potong sumbu-x
(1, 0) dan (8, 0)

Jawaban : D